Cours maths 4ème

Théorème de pythagore

Ce course tente d'expliquer le théorème de Pythagore. Il permet d’initier l’élève à l’utilisation de la calculatrice au niveau des racines carrées d’un nombre positif, d’initier l’élève à la démonstration et de bien comprendre le codage d’une figure.

Un peu de vocabulaire

Soit un triangle ABC rectangle en B:

Rappel:

L’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :
BA AC
BC AC

 

Réfléchissons

Monsieur Mathenfolie propose 3 triangles en indiquant leurs natures et les mesures des trois côtés. Il te demande ensuite de compléter les égalités correspondantes :

ABC est un triangle équilatéral tel que AB = AC = BC = 2,5cm
AB² 6,25
BC² 6,25
AC² 6,25
AB² = BC² = AC²

MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.
MN² 30,25
NO² 23,04
OM² 53,29
OM² = MN² + NO²

IJK est un triangle isocèle de sommet principal J tel que : IJ = KJ = 4 cm et IK = 2,7 cm.
IK² Text
IJ² Text
KJ² Text
IJ² = KJ²

Que remarque-t-on?

Ce qui intéresse monsieur Mathenfolie c’est le cas du triangle rectangle MNO. Est-ce que cela marche pour d’autres triangles rectangles ?

ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 4,56 cm, BC = 2,17 cm, et AB = 5,05 cm.
AB² 25,5025
BC² 4,7089
AC² 20,7936
AB² = BC² = AC²

MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.
MN² 30,25
NO² 23,04
OM² 53,29
OM² = MN² = NO²

TGV est un triangle rectangle en G tel que TV = 6,25 cm, TG = 6 cm et GV = 1,75 cm.
TV² 7,29
TG² 16
GV² 16
TV² = TG² = GV²

Est-ce-que cela est vrai pour tous les triangles?

Démontrons

A partir de 4 triangles rectangles identiques dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b et l’hypoténuse mesure c, on obtient un premier carré de côté a + b représenté ci-contre:

On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
L’aire de ce carré est égale à c².

A partir de ces mêmes triangles on peut construire un autre carré de côté a + b superposable au premier.

Comme les triangles sont identiques et que les carrés obtenus sont superposables, on en déduit que :
a² + b² = c²

On admettra que les deux quadrilatères représentés en orange sont des carrés.

•   Le plus grand a une aire égale à b²
•   Le plus petit a une aire égale à a²

On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.

•   L’aire de ce carré est égale à c²

 

Le théorème de Pythagore

Nous avons démontré que:
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la mesure de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des deux côtés de l’angle droit.

Puisque le triangle ULM est rectangle en L,
on a : c² = a² + b² ,
on peut aussi écrire : MU² = LU² + LM² .

 

La racine carrée d'un nombre positif

Question 1:

Si la distance entre deux points A et B est telle que : AB² = 25, alors que peut-on dire de AB ?

Nous cherchons le nombre positif tel que : AB² = AB x AB = 25.
Parfois la solution peut paraître évidente,
ici 5 x 5 = 25 donc nous admettrons que AB = 5 (en unité de mesure).

Question 2:

Si la distance entre deux points M et N est telle que : MN² = 15, alors que peut-on dire de MN ?

Nous cherchons le nombre positif tel que : MN² = MN x MN = 15.
Dans ce cas la solution n’est pas évidente. Nous utilisons alors la touche √ de la calculatrice : √15 ≈ 3,87. Nous obtenons ici une valeur approchée.
Donc MN ≈ 3,87 (à 0,01 près en unité de mesure).