Théorème de pythagore
Cours maths 4ème
Théorème de pythagore Ce course tente d'expliquer le théorème de Pythagore. Il permet d’initier l’élève à l’utilisation de la calculatrice au niveau des racines carrées d’un nombre positif, d’initier l’élève à la démonstration et de bien comprendre le codage d’une figure. |
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Un peu de vocabulaire
Soit un triangle ABC rectangle en B :
.png)
Rappel :
L’hypoténuse est le côté qui a la
plus grande mesure :
BA < AC
BC < AC
| Monsieur Mathenfolie propose 3 triangles en indiquant leurs natures et les mesures des trois côtés. Il te demande ensuite de compléter les égalités correspondantes : | ||
.png) ABC est un triangle équilatéral tel que AB = AC = BC = 2,5cm AB2 = 6,25 BC2 = 6,25 AC2 = 6,25 AB2 = BC2 = AC2 | .png) MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm. MN2 = 30,25 NO2 = 23,04 OM2 = 53,29 OM² = MN² + NO² | .png) IJK est un triangle isocèle de sommet principal J tel que : IJ = KJ = 4 cm et IK = 2,7 cm. IK2 = 7,29 IJ2 = 16 KJ2 = 16 IJ2 = KJ2 |
| Que remarque-t-on ? | ||
| Ce qui intéresse monsieur Mathenfolie c’est le cas du triangle rectangle MNO. Est-ce que cela marche pour d’autres triangles rectangles ? | ||
.png) ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 4,56 cm, BC = 2,17 cm, et AB = 5,05 cm. AB2 = 25,5025 BC2 = 4,7089 AC2 = 20,7936 AB2 = BC2 + AC2 | MNO est un triangle rectangle en N tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm. MN2 = 30,25 NO2 = 23,04 OM2 = 53,29 OM² = MN² + NO² | .png) TGV est un triangle rectangle en G tel que TV = 6,25 cm, TG = 6 cm et GV = 1,75 cm. TV2 = 7,29 TG2 = 16 GV2 = 16 TV2 = TG2 + GV2 |
| Est-ce que cela est vrai pour tous les triangles ? | ||
Démontrons
A partir de 4 triangles rectangles identiques dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b et l’hypoténuse mesure c, on obtient un premier carré de côté a + b représenté ci-contre:
.png)
On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
L’aire de ce carré est égale à c2.
L’aire de ce carré est égale à c2.
A partir de ces mêmes triangles on peut construire un autre carré de côté a + b superposable au premier.
.png)
.png)
Comme les trianglessont identiques et
que les carrés
obtenus sont super-
posables,
on en déduit que :
a2 + b2 = c2
On admettra que les deux quadrilatères représentés en orange sont des carrés.
- Le plus grand a une aire égale à b2.
- Le plus petit a une aire égale à a2.
On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
- L’aire de ce carré est égale à c2.
Le théorème de Pythagore
.png)
Nous avons démontré que :Si un triangle est rectangle, alors le carré de la mesure de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des deux côtés de l’angle droit.
.png)
Puisque le triangle ULM est rectangle en L,
on a : c2 = a2 + b2 ,
on peut aussi écrire : MU2 = LU2 + LM2 .
La racine carrée d'un nombre positif
Question 1 :
Si la distance entre deux points A et B est telle que : AB² = 25,
alors que peut-on dire de AB ?
Nous cherchons le nombre positif tel que : AB² = AB x AB = 25.
Parfois la solution peut paraître évidente,
ici 5 x 5 = 25 donc nous admettrons que AB = 5 (en unité de mesure).
Question 2 :
Si la distance entre deux points M et N est telle que : MN² = 15,
alors que peut-on dire de MN ?
Nous cherchons le nombre positif tel que : MN² = MN x MN = 15.
Dans ce cas la solution n’est pas évidente. Nous utilisons alors la touche √ de la calculatrice : √15 ≈ 3,87. Nous obtenons ici une valeur approchée.
Donc MN ≈ 3,87 (à 0,01 près en unité de mesure).
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