Cours maths 4ème

Triangle rectangle

Ce cours a pour objectif d’utiliser le théorème de Pythagore ou sa réciproque pour démontrer qu’un triangle est rectangle ou non. Il permet d’entraîner l’élève à la rédaction d’une démonstration. Ce cours requiert une bonne capacité de réflexion et de calcul.

 

Un peu de vocabulaire sur le triangle rectangle

Soit un triangle ABC rectangle en B :

Rappel:

L’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :

BA < AC

BC < AC

 

Réflexion sur le triangle rectangle ...

Monsieur Mathenfolie propose le triangle suivant :
Soit le triangle MAP tel que MA = 4,9 cm , AP = 5 cm et MP = 1,4 cm.
Quelle est sa nature ?

Grâce aux données, nous pouvons, dans un premier temps, affirmer que ce triangle n’est ni isocèle, ni équilatéral car ses trois côtés ont des mesures différentes.

Ce triangle est-il rectangle ?

Si nous construisions en vraie grandeur ce triangle, nous pourrions faire l’hypothèse suivante : le triangle MAP semble être rectangle en M.

Le théorème de Pythagore nous permettrait d’écrire : PA² = MA² + MP².

MAIS, dans la pratique, d’une part : PA² = 5² = 25 d’autre part : MA² + MP² = 4,9² + 1,4² = 25,97.

Donc PA² ≠ MA² + MP².

Nous obtenons une contradiction avec notre hypothèse, ce qui veut dire que celle-ci est fausse. Le triangle MAP n’est pas rectangle. Il est donc quelconque.

Exemple 1:

Je sais que ABC est un triangle et je connais les mesures de ses trois côtés : AB = 1,70 dm , AC = 1,50 dm et BC = 0,81 dm.

Réfléchissons:

Si nous supposons que le triangle ABC est rectangle, alors son hypoténuse est [AB] (car c’est le côté le plus grand) et nous avons l’égalité entre : AB² et AC² + BC².

Calculons:

D’une part AB² = 1,70² = 2,89 et d’autre part AC² + BC² = 1,50² + 0,81² = 2,9061

Conclusion:

Comme AB² ≠ AC² + BC² , le théorème de Pythagore nous permet de dire que le triangle ABC n’est pas rectangle.

Exemple 2:

Je sais que IJK est un triangle et je connais les mesures de ses trois côtés: IK = 4,40 cm , IJ = 2,79 cm et JK = 5,21 cm.

Réfléchissons :

Si nous supposons que le triangle IJK est rectangle, alors son hypoténuse est [JK] (car c’est le côté le plus grand) et nous avons l’égalité entre : JK² et IK² + IJ².

Calculons:

D’une part JK² = 5,21² = 27,1441 et d’autre part IK² + IJ² = 4,40² + 2,79² = 27,1441

Conclusion:

Comme JK² = IK² + IJ² , nous pourrons dire que le triangle IJK est bien un triangle rectangle en I. Son hypoténuse est [JK].

En effet...

Résumons: Si a, b et c sont des nombres positifs tels que :

Que pouvons-nous dire de la nature du triangle dont les trois côtés mesurent respectivement a, b et c ?

 

La réciproque du théorème de Pythagore

Dans un triangle:

Si le carré de la mesure de son plus grand côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est son hypoténuse.

Ainsi, la réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle est rectangle, tandis que le théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle.