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Cours maths 3ème

Statistiques - caractéristiques de position

Ce cours a pour objectifs de faire approcher et travailler deux caractéristiques de position en statistiques : la moyenne et la médiane d’une série.
Ce cours s'appuyera sur des listes, des tableaux et des graphiques.

 

Effectifs et fréquences d'une donnée dans une série statistique

L’effectif d’une donnée dans une série statistique est le nombre de fois ou cette donnée apparaît.

 

La fréquence d’une donnée est le quotient de son effectif par le nombre total de données.

 

Exemple :
Luc a lancé 20 fois un dé. Il a noté les nombres qui sont sortis.

 

2 ; 4 ; 5 ; 2 ; 4 ; 1 ; 6 ; 3 ; 2 ; 4 ;
2 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 3 ; 2 ; 1 ; 2 ; 4 ;

 

Quelle est la fréquence du 2 ?

L’effectif du 2 est 6.
La fréquence du 2 est : 6 ÷ 20 × 100 = 30 %.

 

Activité : calcul de moyenne d'une série statistique

Au contrôle commun du 2ème trimestre, les notes des élèves de deux classes de 3ème ont été les suivantes :

 

 

Les élèves demandent quelle classe est la meilleure.
Que leur répondriez vous ?

Très souvent, pour comparer deux classes, on calcule la moyenne.

 

La moyenne de la 3ème A est 12.
La moyenne de la 3ème E est 12.

 

Les deux classes ont la même moyenne, mais on remarque que la 3ème E est plus hétérogène (Il y a plus de très mauvaise notes et de très bonnes notes).

 

Activité : médiane 3ème A

1. a) Ranger les notes des élèves de 3ème A dans l’ordre croissant.

5 ; 5 ; 6 ; 9 ; 9 ; 11 ; 11 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 15 ; 17 ; 17 ; 17.

b) Quelle est la note qui partage cette série en deux séries de même effectif.

5 ; 5 ; 6 ; 9 ; 9 ; 11 ; 11 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 15 ; 17 ; 17 ; 17.

 

Dans la 3ème A, il y a autant d’élèves qui ont obtenu une note inférieur à 12, que d’élèves qui ont obtenu une note supérieur à 12.

 

Cette note est appelée la médiane de la série de note.

 

Activité : médiane 3ème E

1. a) Ranger les notes des élèves de 3ème E dans l’ordre croissant.

1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 5 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 14 ; 15 ; 15 ; 17 ; 17 ; 17 ; 18 ; 18 ; 20 ; 20 ; 20.

 

b) Peut-on entourer une note qui partage cette série en deux séries de même effectif?

Non, car il y a 20 notes : il y aura forcément une série de 9 notes et une de 10 notes.

1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 5 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 14 ; 15; 15 ; 17 ; 17 ; 17 ; 18 ; 18 ; 20 ; 20 ; 20.

 

c) On convient dans ce cas que la médiane est 14,5. Expliquer ce choix.

On choisit de prendre la 10ème et la 11ème valeur pour partager cette série en deux séries d’effectifs 9.

 

On fait ensuite la moyenne de ces deux notes.

 

Moyenne d’une série statistique

Exemple :

 

 

s

La moyenne M des notes du tableau ci-dessus est donnée par :

 

 

La moyenne est 10,7.

 

Cette moyenne est dite pondérée pour indiquer que chaque note est affectée d’un effectif qui constitue le « poids » de chaque note.

 

Regroupement en classes et moyennes approchées

Exemple :

On a demandé aux 25 membres d’un club sportif la distance d en km entre leur domicile et le stade.

 

 

Dans ce cas, il n’est pas possible de connaître la valeur exacte de la moyenne pondérée M, mais on peut en calculer une une valeur approchée en procédant ainsi :

- On remplace chaque classe par son centre .
- On calcule la moyenne pondérée de cette nouvelle série.

 

 

Donc la moyenne de cette série est environ 6,78.

 

Médiane d'une série statistique

Les nombres d’une série étant rangés par ordre croissant, on appelle médiane de cette série, un nombre qui partage la série en 2 ensembles de même effectif.

 

Exemple 1 :

L’effectif total de la série est impair.

 

 

La médiane est 10.

 

 

Exemple 2 :

L’effectif total de la série est pair.

 

 

En général, on fait la moyenne de 6 et 7 : la médiane est 6,5.