Cours maths 3ème

Statistiques - caractéristiques de dispersion

Ce cours a pour objectifs de faire découvrir et travailler deux caractéristiques de dispersion en statistiques : l’étendue et les quartiles d’une série. Ce cours s'appuyera sur des listes, des tableaux et des graphiques. Il est conseillé d’avoir vu au préalable le cours : statistiques - caractéristiques de position.

 

Activité : étendue d'une série statistique

Au contrôle commun du 2ème trimestre, les notes des élèves de deux classes de 3ème ont été les suivantes :

Pour chaque classe, quel est l’écart entre la note la plus basse et la note la plus élevée ?

Pour la 3ème A, la plus mauvaise note est 5 et la meilleure note est 17.
L’écart entre la plus petite note et la plus grande est 17 – 5 = 12.

Pour la 3ème B, la plus petite note est 1 et la meilleure note est 20.
L’écart entre la plus petite note et la plus grande est 20 – 1 = 19.

 

Cette valeur est appelée l’étendue de la série

 

Activité : quartiles 3ème A

a) Ranger les notes des élèves de 3ème A dans l’ordre croissant.

5 ; 5 ; 6 ; 9 ; 9 ; 11 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 15 ; 17 ; 17 ; 17 ;

 

b) Peut-on partager cette série en quatre séries de même effectif ?

Il y a 20 notes et 20 ÷ 4 = 5. On peut donc partager cette série en 4 séries de 5 notes.

5 ; 5 ; 6 ; 9 ; 9 ♦ 11 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ♦ 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ♦ 15 ; 15 ; 17 ; 17 ; 17 ;

Interprétation : 25 % des élèves ont eu moins de 9/20 et 25 % des élèves ont eu plus de 15/20.

 

Le 1er quartile de cette série est la plus petite note Q1 pour laquelle au moins 25% des élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à Q1.
Le 3ème quartile de cette série est la plus petite note Q3 pour laquelle au moins 75% des élèves ont obtenu une note supérieure ou égale à Q3.

 

c) Déterminer les 1er et 3ème quartiles.

5 ; 5 ; 6 ; 9 ; 9 ♦ 11 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ♦ 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ♦ 15 ; 15 ; 17 ; 17 ; 17

Le 1er quartile de la série est 9.
Le 3ème quartile de la série est 15.

Activité : 1er quartile 3ème B

a) Ranger les notes des élèves de 3ème B dans l’ordre croissant.

1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 5 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 17 ; 17 ; 18 ; 18 ; 20 ; 20 ; 20 ;

b) Peut-on partager cette série en quatre séries de même effectif ?

 

Non, car il y a 21 notes et 21 ÷ 4 = 5,25.

 

Problème : On veut trouver une note Q1 telle qu’au moins 25 % des élèves aient une note inférieure à Q1.

1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 5 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 17 ; 17 ; 18 ; 18 ; 20 ; 20 ; 20 ;

21 × 25 ÷ 100 = 5,25

 

Nous allons choisir la 6ème valeur.
Le 1er quartile de la série est 9.

 

Problème : On veut trouver une note Q3 telle qu’au moins 75 % des élèves aient une note supérieure à Q3.

1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 5 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 17 ; 17 ; 18 ; 18 ; 20 ; 20 ; 20 ;

 

Etendue d'une série statistique

L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.

 

Exemple :

3 ; 3 ; 5,5 ; 8 ; 10 ; 12,5 ; 14,5 ; 16,5 ; 17 ;
L’étendue de cette série est 17 – 3 = 14

 

1er quartile

Le 1er quartile Q1 d’une série ordonnée dans l’ordre croissant est la plus petite valeur de la série pour laquelle on atteint le quart de l’effectif.

 

Pour déterminer Q1, on calcule le quart de l’effectif.
Si le résultat est entier : on prend la valeur correspondante.
Sinon, on prend la valeur suivante.

 

Exemple :

3 ; 3 ; 5,5 ; 8 ; 10 ; 12,5 ; 14,5 ; 16,5 ; 17 ;
Il y a 9 valeurs. 9 ÷ 4 = 2,25.
Le premier quartile est la 3ème valeur de la série rangée dans l’ordre croissant.
Le premier quartile Q1 est 5,5.

 

3ème quartile

Le 3ème quartile Q3 d’une série ordonnée dans l’ordre croissant est la plus petite valeur de la série pour laquelle on atteint les trois quarts de l’effectif.

 

Pour déterminer Q3, on calcule les trois quarts de l’effectif.
Si le résultat est entier : on prend la valeur correspondante.
Sinon, on prend la valeur suivante..

 

Exemple :

3 ; 3 ; 5,5 ; 8 ; 10 ; 12,5 ; 14,5 ; 16,5 ; 17 ;
Il y a 9 valeurs. (9 x 3) ÷ 4 = 6,75.
Le 3ème quartile est la 7ème valeur de la série rangée dans l’ordre croissant.
Le 3ème quartile Q3 est 14,5.