Repères et coordonnées
Cours maths seconde
Repères et coordonnées : Repérage dans le plan. Coordonnées de points et de vecteurs. Formule de la distance et du milieu. Changement de repère. |
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Repères du plan
Si O, I et J sont trois points non alignés du plan, alors
est un repère du plan d’origine O.On le note
.► La droite (OI) est l’axe des abscisses.
► La droite (OJ) est l’axe des ordonnées.
Repère orthogonal et orthonormal
Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, alors
est un repère orthogonal.Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, et qu’en plus OI = OJ alors
est un repère orthonormal (ou orthonormé).
Exemple
Sur une carte, on peut repérer un point par sa latitude et sa longitude.
Coordonnées d'un vecteur 1
Soient
. Alors les coordonnées du vecteur AB se calculent avec la formule suivante :
Exemple :
Si A(2 ; -1) et B(3 ; 1) ; alors :
Coordonnées d'un vecteur 2
Si M (x ; y) et si O est l'origine du repère, alors :
Exemple :
Si M (2 ; 3) alors :
Coordonnées de la somme et du produit
Exemple :
Coordonnées et égalité
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées respectives sont égales.
Exemple :
Trouver les coordonnées du point M(x ; y)
Formule de la distance
Si le repère est orthonormé alors la distance entre les points A(XA ; YA) et B(XB ; YB) est donné par la formule :
Exemple
Dans un repère orthonormé, on donne les points suivants :
B(-1 ; 3) et C(2 ; -1)
Alors, la distance BC vaut :
Coordonnées du milieu
Si I est le milieu du segment [AB] ; alors, les coordonnées du point I sont données par la formule suivante :
Exemple :Soient K(4 ; –2), D(–1 ; 3) et M le milieu de [KD] dans une repère orthonormé.
Calculer les coordonées du point M.
Les coordonnées de M sont :
Changement de repère
Dans un repère
, on considère les points A, B, C et M.- Si A, B et C ne sont pas alignés, alors ils définissent un autre repère
.- Si on veut les coordonnées du point M dans le nouveau repère
il faut exprimer le vecteur 
en fonction des vecteurs .png){kind=small}
et 
.
Exemple : Si
alors, dans le repère 
on a : 
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