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Cours maths seconde

Equations d'une droite

Equation et représentation graphique d’une droite.
Equations cartésiennes ; équations réduites ; lien entre les deux.
Applications.

 

Equation réduite

Propriété :

Dans un repère :

- Toute droite d non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : y = m x + p [1].
- Toute droite d parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : x = k [2].

Réciproquement, toute équation de la forme [1] ou [2] est une équation de droite.

 

Définitions :

   ● L’équation y = m x + p ou l’équation x = k est appelée équation réduite de la droite d.
   ● Le nombre m est appelé coefficient directeur de la droite d.

 

Equation cartésienne

Propriété :

L’équation a x + b y + c = 0 avec a ≠ 0 ou b ≠ 0 est l’équation d’une droite d et, réciproquement, toute droite d a une équation du type a x + b y + c = 0.

Remarque :

L’avantage est qu’ici, on n’a pas besoin de séparer les cas où la droite d est parallèle à l’axe des ordonnées ou pas.

Définition :

Cette équation est une équation cartésienne de la droite d.

Exemples

Du passage équation cartésienne → équation réduite.

Du passage équation réduite → équation cartésienne.

 

Droites parallèles

On dispose de deux propriétés permettant de savoir si deux droites sont parallèles à partir de leurs équations.

La première propriété s’utilise lorsqu’on dispose des équations réduites des droites et la seconde propriété s’utilise lorsqu’on dispose des équations cartésiennes des droites.

Propriété 1 : Les droites d’équation y = m x + p et y = m' x + p' sont parallèles équivaut à : m = m' .

Propriété 2 : Les droites d’équation a x + b y + c = 0 et a' x + b' y + c' = 0 sont parallèles équivaut à : ab' - ba' = 0.

 

Droite passant par deux points

Méthode pour déterminer l’équation y = m x + p d’une droite D passant par les points .

- On détermine le coefficient directeur (m) de D avec la formule :

On détermine l’ordonnée à l’origine (p) en utilisant par exemple les coordonnées du point A :

 

Application : résolution graphique d'un système

Pour résoudre graphiquement un système de deux inconnues

on trace la droite D d’équation

et la droite D’ d’équation

puis, il y a 3 cas :

1er cas : D et D’ sont sécantes en un point M(x0 ; y0). Le système admet une unique solution qui est (x0 ; y0).

2ème cas : Les droites D et D’ sont parallèles. Le système (S) n’a aucune solution.

3ème cas : Les droites D et D’ sont confondues. Le système (S) a une infinité de solutions : tous les couples de coordonnées des points de la droite D.