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Cours maths 4ème

Puissances de dix

Ce cours est destiné à introduire la notion des puissances de dix. L’usage des puissances de dix dans les matières scientifiques, notamment en Physique et en SVT où on aborde le domaine microscopique et les échelles astronomiques, doit faire partie d’un apprentissage régulier et progressif.

Observons et réfléchissons

Monsieur Mathenfolie nous propose d’effectuer les calculs suivants :

10x10 = = 100
10x10x10 = 1000
10x10x10x10x10 = = 10000
10x10x10x10x10x10 = 100000
10x10x10x10x10x10x10 = = 1000000
10x10x10x10x10x10x10x10 = 10000000
10x10x10x10x10x10x10x10x10 = = ...
10x10x10x10x10x10x10x10x10x10 = ...

Remarques : Si nous essayons d’écrire les résultats sous la forme « d’écriture décimale », les calculs deviennent longs et nous nous retrouvons face à un problème de place pour écrire. A partir d’un certain rang, la calculatrice nous donne le résultat sous la forme « d’écriture scientifique ».

 

Définition de puissances de dix

Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

Nous noterons pour plus de facilité dans les calculs :

Cas particuliers : 101 = 10 et 100 = 1

Exemples:

- 10n se lit : « dix puissance n »
- mais aussi « dix exposant n ».

Observons et réfléchissons

Monsieur Mathenfolie nous propose maintenant d’effectuer les calculs suivants :

0,1x0,1 = = 0,01
0,1x0,1x0,1 = 0,001
0,1x0,1x0,1x0,1x0,1 = = 0,0001
0,1x0,1x0,1x0,1x0,1x0,1 = 0,00001
0,1x0,1x0,1x0,1x0,1x0,1x0,1 = = 0,000001
0,1x0,1x0,1x0,1x0,1x0,1x0,1x0,1 = = 0,0000001
0,1x0,1x0,1x0,1x0,1x0,1x0,1x0,1x0,1 = ...

Remarques : Si nous essayons d’écrire les résultats sous la forme « d’écriture décimale », les calculs deviennent longs et nous nous retrouvons face à un problème de place pour écrire. A partir d’un certain rang, la calculatrice nous donne le résultat sous la forme « d’écriture scientifique ».

 

Définition de puissances de dix négatives

Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

Nous noterons pour plus de facilité dans les calculs :

Cas particuliers : 10-1 = 0,1 et 10-0 = 100 = 1

Exemples:

 

Remarques sur les puissances de dix

Nous pouvons remarquer que :

Cela se généralise quelle que soit la puissance de dix,

quel que soit le nombre entier relatif n :

De plus :

Quel que soit le nombre entier relatif n : 10-n est l’inverse de 10n.