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Cours maths seconde

Règles d'incidences dans l'espace

Droites et plans coplanaires. On attend de l'élève la manipulation, la construction et la représentation de solides, ainsi que la connaissance des positions relatives de droites et plans dans l’espace.

 

Droites coplanaires

Définition :

Deux droites sont coplanaires lorsqu’elles sont contenues dans un même plan.

Exemples :

(AE) et (AF) sont coplanaires car elles sont contenues dans le plan (AEF).

(EC) et (FB) ne sont pas coplanaires.

(GA) et (EC) sont coplanaires car elles sont contenues dans le plan (EGCA).

 

Positions relatives de deux droites

Deux droites distinctes d1 et d2 sont :

- Soit non coplanaires.
- Soit coplanaires et dans ce cas, il y a encore deux possibilités :

     - Si d1 et d2 n’ont aucun point commun, elles sont parallèles.
     - Si d1 et d2 ont un point commun, elles sont sécantes.

 

Positions relatives de deux plans distincts

- Plan sécants :

L’intersection de deux plans est toujours une droite.

- Plans parallèles :

Remarque:
Si deux plans ne sont pas parallèles, ils sont alors forcément sécants.

 

Position relative d'une droite D et d'un plan P

La droite D et le plan P sont sécants en un point A.

D est incluse dans P.

La droite D et le plan P n’ont aucun point commun.

Remarque :

Dans les deux derniers cas, on dit que la droite D est parallèle au plan P.

Exemples

1. Les droites (AC) et (BD) sont coplanaires (du plan ABC) et sécantes.
2. Les droites (AD) et (BC) sont coplanaires (du plan ABC) et parallèles.
3. Les droites (SC) et (AB) sont non coplanaires.
4. Les droites (SB) et (AC) sont non coplanaires.
5. La droite (SB) et le plan (ADC) sont sécants en B.
6. La droite (EF) et le plan (HGC) sont parallèles.
7. La droite (EF) et le plan (BCG) sont sécants en F.
8. Les plans (EFG) et (BCD) sont parallèles.
9. Les plans (EDH) et (ABC) sont sécants, d'intersection (AD).

 

Propriétés

  ● Propriété 1: Si deux droites sont parallèles, alors, elles sont coplanaires.
  ● Propriété 2: Si deux droites sont sécantes, alors, elles sont coplanaires.
  ● Propriété 3: Si deux droites ne sont pas coplanaires, elles ne peuvent être ni parallèles, ni sécantes.

 

Intersection d'une droite et d'un plan

Méthode: trouver le point d’intersection d’une droite D et d’un plan P.

Afin de trouver ce point d’intersection, trouver une droite Δ de P qui est coplanaire à D, le point cherché est le point d’intersection de D et Δ.

Exemple :

intersection I de (MN) et (BDC).

 

Intersection de deux plans

Méthode: trouver la droite d’intersection Δ de deux plans P et P’.

Trouver deux points U et V tous deux communs à P et P’, Δ est alors la droite (UV).

(Pour trouver U (resp V), trouver 2 droites sécantes en U (resp V) contenues dans chacun des plans P et P’ ).

Exemple :

Intersection de (AFC) et (BEG).

 

Section d'un solide par un plan

Méthode: déterminer la section d’un solide S par un plan P.

On détermine l’intersection de P et de chaque plan contenant une face de S puis la section de la face proprement dite par P (une face est bornée alors qu’un plan ne l’est pas).

Exemple:

section de ABCD par (PIJ).

 

Parallélisme dans l'espace

Soient D une droite et P un plan qui ne contient pas D.
Soient P et Q deux plans non confondus.

  ●  Propriété 1: Si la droite D est parallèle à une droite d’un plan P, alors D est parallèle au plan P.
  ●  Propriété 2: Si deux plans P et Q sont parallèles, alors toute droite de P est parallèle au plan Q.
  ●  Propriété 3: Si deux droites sécantes du plan P sont respectivement parallèles à deux droites sécantes du plan Q, alors les plans P et Q sont parallèles.

 

Théorème d'incidence

Si deux plans sont parallèles ; alors, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

 

Lien avec la géométrie plane

Règle :

Dans un plan de l’espace, toutes les propriétés de la géométrie plane s’appliquent.

Cette propriété est intéressante car, dès que l’on se place dans un plan de l’espace, on peut utiliser tous les théorèmes connus (Pythagore, Thalès, trigonométrie, …).