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Cours maths seconde

Etude statistique

Résumé numérique par plusieurs mesures de tendances centrales (moyenne, médiane, classe modale, moyenne élaguée) et une mesure de dispersion (l’étendue).

 

Définition

La statistique est la branche des mathématiques appliquées qui a pour objet l’étude des phénomènes mettant en jeu un grand nombre d’éléments (valeurs numériques, notes, noms, couleurs …).

(Hachette dictionnaire encyclopédique)

 

Population et individu

♦ La Population est l’ensemble sur lequel porte l’étude.

♦ Les Individus sont les éléments qui composent la population.

 

Exemple:

Si on fait une étude sur le nombre de kilomètres des voitures garées sur le parking du lycée ; la population est l’ensemble des voitures garées sur ce parking et un individu est une voiture garée sur ce parking.

 

Caractère

♦ Le Caractère est l’aspect ou la propriété observée et analysée.

 

Exemple:

Dans l’exemple précédent, le caractère est le nombre de kilomètres des voitures garées sur le parking.

Il y a deux types de caractère : le caractère peut être quantitatif (du mot quantité) c’est-à-dire mesurable ou qualitatif (du mot qualité) c’est-à-dire non mesurable.

Exemples:

  

Caractères quantitatifs

Les caractères quantitatifs se divisent eux même en deux types :

♦ Caractère quantitatif continu :
le caractère est mesurable et peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle.

♦ Caractère quantitatif discret :
le caractère est mesurable mais ne peut pas prendre de valeurs intermédiaires.

Exemples:

 

Echantillon

♦ Un Echantillon est une partie de la population.

Lorsque la population est trop grande, pour faire un sondage, on utilise un échantillon.
Par exemple, pour savoir qui du candidat N ou S va devenir président(e) on appelle 1000 français inscrits sur les listes électorales mais on ne peut pas appeler tous les électeurs.

 

Echantillon représentatif ou biaisé

Pour que le sondage soit valable, il faut que l’échantillon soit représentatif c’est-à-dire considéré comme le modèle, le type de la population.

Exemple : 1000 personnes choisies selon la méthode des quotas (de différents sexe, age, revenus, origines, situation géographique ….).

Quand l’échantillon n’est pas représentatif ; on dit que l'échantillon est biaisé.

Exemple : 1000 personnes habitant à Paris et dont le revenu mensuel est supérieur à 5000 €.

 

Effectif et fréquence

♦ Une série statistique représente l’ensemble des valeurs collectées.
♦ L’effectif est le nombre d’individus de la population ayant une valeur donnée (pour le caractère étudié).
♦ La fréquence c’est le quotient de l’effectif de la valeur par l’effectif total.

 

Valeurs extrêmes : étendue et mode

♦ Les valeurs extrêmes sont : la valeur maximale xmax et la valeur minimale xmax .

♦ L’étendue e est la différence entre les valeurs extrêmes :

♦ Le mode est la valeur la plus fréquente, c’est-à-dire, celle ayant le plus grand effectif.

♦ Si les valeurs sont regroupés en classe (intervalles), le mode est en fait une classe modale.

 

Moyenne

La moyenne de la série statistique suivante :

est le nombre noté défini par :

Si les valeurs sont regroupées en classe (intervalles), on calcule la moyenne en choisissant comme valeurs du caractère les centres des classes.

 

Moyenne élaguée

Soit la série : 1 ; 100 ; 98 ; 101 ; 101 ; 100 ; 106 ; 990.

La moyenne de cette série est 199,625.

Les deux valeurs extrêmes (1 et 990) sont des valeurs exceptionnelles ; on peut calculer la moyenne de la série privée de ces deux valeurs ; on dit qu’il s’agit d’une moyenne élaguée.

Dans cet exemple, la moyenne élaguée est :

 

Médiane

La médiane Me d’une série statistique partage cette série en deux parties de telle sorte que :

♦ Au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égale à la médiane ;
♦ Au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égale à la médiane.

 

Exemples :

La médiane de la série : 2 ; 3 ; 5 ; 10 ; 12 ; 19 ; 20 est 10.

La médiane de la série : 2 ; 3 ; 5 ; 10 ; 12 ; 19 est

 

Calcul de la médiane

Si la série contient n valeurs rangées dans l’ordre croissant :

♦ Si n est impair ; la médiane est la valeur de la série.

♦ Si n est pair ; la médiane est la demi somme des et valeurs de la série.

 

Exemples :