Cours maths 5ème

Le rectangle

Après avoir défini ce qu’est un rectangle, des activités guidées permettront de découvrir les propriétés de ses côtés, l’existence d’axes de symétrie, d’un centre de symétrie, les propriétés de ses diagonales mais aussi qu’un rectangle est un parallélogramme. Il sera ensuite rappelé comment montrer qu’un quadrilatère est un rectangle à partir de ses angles ou de ses diagonales.

 

Définition du rectangle

Le quadrilatère ABCD a quatre angles droits :
C’est un rectangle.

Définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.

Un quadrilatère particulier

Dans la figure ci-contre, (AB) ⊥ (BC) et (BC) ⊥ (DC).
Deux droites perpendiculaires à la même troisième sont parallèles entre elles. Donc (AB) // (DC).

De même, (AB)(BC) et (AB)(AD). Donc (BC) // (AD).

Le rectangle ABCD a donc ses côtés opposés parallèles, c’est un parallélogramme.

Propriété 1:
Le rectangle est un parallélogramme.

 

Les côtés du rectangle

ABCD est un parallélogramme.
Ses côtés opposés ont donc la même longueur: AB = DC et BC = AD.

Propriété 2:
Le rectangle a ses côtés opposés parallèles et de même longueur.

Vocabulaire:
Le côté le plus long est appelé souvent « longueur » et le plus petit « largeur ».

 

Les axes de symétrie du rectangle

On a vu en sixième que le rectangle a deux axes de symétrie :
les médiatrices de ses côtés.

Propriété 3:
Le rectangle a 2 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés

 

Diagonales du rectangle

Le rectangle ABCD est aussi un parallélogramme.

Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent donc en leur milieu O, et O est le centre de symétrie du rectangle.

E, milieu de [AB], a pour symétrique par rapport à O le milieu de [DC] : F

H, milieu de [AD], a pour symétrique par rapport à O le milieu de [BC] : G

Les deux médiatrices se coupent donc en O.

Dans la symétrie par rapport à la droite (EF) :
[AO] a pour symétrique [OB]. Donc AO = OB.
[OD] a pour symétrique [OC]. Donc OD = OC.

O est le centre de symétrie du rectangle et le milieu des diagonales, donc :
AO = OC et DO = OB.

Les diagonales ont donc la même longueur.

Propriété 4:
Dans un rectangle, les diagonales ont le même milieu et la même longueur. Le milieu des diagonales est le centre de symétrie du rectangle.

 

Reconnaître un rectangle

Le quadrilatère ABCD a 3 angles droits.
On a : (AB) ⊥ (BC) et (BC) ⊥ (DC)
donc : (AB) // (DC)
Comme (AD) ⊥ (DC) alors (AD) ⊥ (AB).

ABCD a donc 4 angles droits, c’est un rectangle.

Propriété 5 :
Si un quadrilatère a trois angles droits, alors ce quadrilatère est un rectangle.

Propriété 6 :
Si un parallélogramme a 1 angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle.

Dans le quadrilatère ABCD, les diagonales ont le même milieu O et ont la même longueur.

On admettra la propriété suivante :

Propriété 7 :
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et la même longueur, alors ce quadrilatère est un rectangle.