Cours maths 5ème

Opérations sans parenthèses - distributivité

Cette leçon a pour but d'établir la hiérarchie qui existe entre les 4 opérations connues des élèves de 5ème. Ce travail se fera à partir d’exemples et débouchera sur l’énoncé de diverses propriétés.

Un calcul simple avec des additions

Effectuer le calcul suivant :

10,4 + 3,7 + 2,6 + 8,3

Paul décide d’ajouter les nombres dans l’ordre où il les trouve ; il obtient les séquences de calcul suivantes :

10,4 + 3,7 + 2,6 + 8,3 = 14,1 + 2,6 +8,3
14,1 + 2,6 + 8,3 = 16,7 +8,3
16,7 + 8,3 = 25

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Pour le même calcul :

10,4 + 3,7 + 2,6 + 8,3

Jacques décide d’ajouter les nombres dans l’ordre, mais deux par deux ; il obtient les séquences de calcul suivantes :

10,4 + 3,7 + 2,6 + 8,3 + 2,6 +8,3 = 14,1 + 10,9
14,1 + 10,9 = 25

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Pour ce même calcul encore :

10,4 + 3,7 + 2,6 + 8,3

Léa décide d’ajouter les nombres deux par deux, mais en faisant des regroupements différents; elle obtient les séquences de calcul suivantes :

10,4 + 3,7 + 2,6 + 8,3 = 10,4 + 2,6 + 3,7 + 8,3
10,4 + 2,6 + 3,7 + 8,3 = 13 + 12
13 + 12 = 25

 

Une première constatation

On remarque donc que lorsque le calcul ne contient que des additions, on peut l’effectuer sans tenir compte de l’ordre dans lequel les termes sont écrits et en regroupant ces mêmes termes comme on veut avant de les ajouter.

Pour 10,4 + 3,7 + 2,6 + 8,3 les trois façons d’effectuer les calculs donnent le même résultat.

 

Propriété des opérations sans parenthèses 1

Dans un calcul sans parenthèses, la somme de plusieurs nombres entiers ou décimaux ne dépend ni de l’ordre des termes ni de la façon dont on les groupe.

 

Avec des soustractions…

Effectuer le calcul suivant :

20,4 - 3,7 - 8,3 - 2,6

20,4 - 3,7 - 8,3 - 2,6 = 16,7 - 8,3 - 2,6
16,7 - 8,3 - 2,6 = 8,4 - 2,6
8,4 - 2,6 = 5,8

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Pour le même calcul :

20,4 - 3,7 - 8,3 - 2,6

Jacques décide d’effectuer les opérations dans l’ordre, mais deux par deux ; il obtient les séquences de calcul suivantes

20,4 - 3,7 - 8,3 - 2,6 = 16,7 - 5,7
16,7 - 5,7 = 11

 

Une nouvelle constatation

On remarque donc que lorsque le calcul contient des additions et des soustractions, on ne peut pas l’effectuer sans tenir compte de l’ordre dans lequel les termes sont écrits et ni en regroupant ces mêmes termes comme on veut avant d’effectuer les opérations.

Pour 20,4 - 3,7 - 8,3 - 2,6 les deux façons d’effectuer les calculs donnent des résultats différents.

Quelle est donc la bonne solution ?

Dans un premier temps, on effectue cette suite d’opérations avec une calculatrice.

Le résultat affiché est : 5,8

Il semble donc que ce soit la méthode employée par Paul qui soit correcte.

 

Une situatation concrète...

Papa a dans son porte monnaie 20,40 €.

Il achète des pêches qui lui coûtent 3,70 €.

Calculer la somme dont il dispose.

Papa dispose maintenant de 20,4 – 3,70 = 16,7 €

Dans un deuxième temps, il achète des gâteaux pour 8,30 €.

Calculer la somme dont il dispose maintenant.

Papa dispose maintenant de 16,70 – 8,30 = 8,40 €

Pour terminer ses courses, il achète des pommes qui lui coûtent 2,60 €.

Combien lui reste-t-il ?

Il lui reste 8,40 – 2,60 = 5,80 €

 

Une confirmation...

Reprendre le problème précédent et écrire sur une seule ligne les différentes opérations à effectuer pour trouver la somme d’argent qui reste après avoir fait toutes les courses :

( ( 20,4 - 3,7) - 8,3) - 2,6 = 5,80 €

On constate donc que :

20,4 - 3,7 - 8,3 - 2,6 = ( ( 20,4 - 3,7) - 8,3) - 2,6 = 5,80

Dans quel ordre les calculs sont-ils donc effectués ?

Ces calculs ont été effectués de gauche à droite, en commençant toujours par le calcul le plus à gauche.

 

Propriété des opérations sans parenthèses 2

Si dans un calcul sans parenthèses, il y a des additions et des soustractions, les opérations seront effectuées de la gauche vers la droite, en commençant toujours par la plus à gauche.

 

Avec des multiplications

Effectuer le calcul suivant :

4 x 3,2 x 2,5 x 5

Paul décide de multiplier les nombres dans l’ordre où il les trouve ; il obtient les séquences de calcul suivantes :

4 x 3,2 x 2,5 x 5 = 12,8 x 2,5 x 5
12,8 x 2,5 x 5 = 32 x 5
32 x 5 = 160

 

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Pour le même calcul :

4 x 3,2 x 2,5 x 5

Jacques décide de multiplier les nombres dans l’ordre, mais deux par deux ; il obtient les séquences de calcul suivantes :

4 x 3,2 x 2,5 x 5 = 12,8 x 12,5
12,8 x 12,5 = 160

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Pour ce même calcul encore :

4 x 3,2 x 2,5 x 5

Léa décide de multiplier les nombres deux par deux, mais en faisant des regroupements différents ; elle obtient les séquences de calcul suivantes :

4 x 3,2 x 2,5 x 5 = 4 x 2,5 x 3,2 x 5
4 x 2,5 x 3,2 x 5 = 10 x 16
10 x 16 = 160

 

Une nouvelle constatation

On remarque donc que lorsque le calcul ne contient que des multiplications, on peut l’effectuer sans tenir compte de l’ordre dans lequel les termes sont écrits et en regroupant ces mêmes termes comme on veut avant de les multiplier.

Pour 4 x 3,2 x 2,5 x 5 les trois façons d’effectuer les calculs donnent le même résultat.

 

Propriété des opérations sans parenthèses 3

Dans un calcul sans parenthèses, le produit de plusieurs nombres entiers ou décimaux ne dépend ni de l’ordre des termes ni de la façon dont on les groupe.

Avec des divisions

Effectuer le calcul suivant :

32 : 4 : 25 x 5

Paul décide d’effectuer les opérations dans l’ordre où il les trouve ; il obtient les séquences de calcul suivantes :

32 : 4 : 25 x 5 = 8 : 25
8 : 25 x 5 = 0,32 x 5
0,32 x 5 = 1,6

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Pour le même calcul :

32 : 4 : 25 x 5

Jacques décide d’effectuer les opérations dans l’ordre, mais deux par deux ; il obtient les séquences de calcul suivantes :

32 : 4: 25 x 5 = 8 : 125
8: 125 = 0,064

Une nouvelle constatation

On remarque donc que lorsque le calcul contient des multiplications et des divisions, on ne peut pas l’effectuer sans tenir compte de l’ordre dans lequel les termes sont écrits et ni en regroupant ces mêmes termes comme on veut avant d’effectuer les opérations.

Pour 32 : 4 : 25 x 5 les deux façons d’effectuer les calculs donnent des résultats différents.

Quelle est donc la bonne solution ?

Si on effectue cette suite d’opérations avec une calculatrice,

Le résultat affiché est : 1,6

Il semble donc que ce soit la méthode employée par Paul qui soit correcte.

 

Une observation

On observe donc que :

32 : 4 : 25 x 5 = ( ( 32 : 4) : 25) x 5 = 1,6

Ces calculs ont été effectués de gauche à droite, en commençant toujours par le calcul le plus à gauche.

 

Propriété des opérations sans parenthèses 4

Si dans un calcul sans parenthèses, il y a des multiplications et des divisions, les opérations seront effectuées de la gauche vers la droite, en commençant toujours par la plus à gauche.

 

Joël achète 3 pains au chocolat à 0,65 € pièce. Dans sa poche, il avait un billet de 5 €.

Calculer la somme dont il dispose après avoir acheté ses pains au chocolat.

Joël dispose maintenant de : 3,05 €

Quel calcul a-t-on fait en premier ?

Il a fallu chercher en premier le prix des 3 pains au chocolat : 0,65 x 3 = 1,95 €

Comment écrire en une seule ligne les calculs à faire pour trouver la somme dont Joël dispose après son achat ?

5 – 0,65 x 3

 

Avec la machine

Avec une machine à calculer, effectuer :

5 + 3 x 7 : On trouve : 26

Dans quel ordre semble-t-il que les calculs aient été faits ?

En premier la machine a calculé le produit 3 x 7

Ensuite, la machine a ajouté le résultat trouvé (21) à 5

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Avec une machine à calculer, effectuer :

27 - 18 : 3 : On trouve : 21 21

Dans quel ordre semble-t-il que les calculs aient été faits ?

En premier la machine a calculé le quotient 18 : 3

Ensuite, la machine a enlevé le résultat trouvé (6) à 27

 

Une observation

On observe donc que :

5 + 3 x 7 = 5 + ( 3 x 7 )
27 – 18 : 3 = 27 – ( 18 : 3 )

On remarque que dans les deux cas précédents, on a effectué en premier la multiplication ou la division, puis en second l’addition ou la soustraction.

 

Propriété des opérations sans parenthèses 5

Si dans un calcul sans parenthèses, il y a des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions, les opérations seront effectuées en commençant toujours par les multiplications et les divisions et en continuant ensuite par les additions et les soustractions.

En résumé

Dans une suite de calculs sans parenthèses on effectue les opérations dans l’ordre suivant :

   ● En premier, les multiplications et les divisions
   ● En second, les additions et les soustractions.

Si plusieurs opérations se suivent et ont la même priorité, on effectue ces opérations de gauche à droite.