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Cours maths 5ème

Opérations avec parenthèses - distributivité

Cette leçon rappelle la priorité qui doit être donnée à tout calcul écrit entre parenthèses ; et établira qu’à l’intérieur des parenthèses il est important de respecter les priorités entre opérations. A partir d’exemples concrets cette leçon mettra en évidence la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction.

Propriété : rappel

Si un calcul est écrit entre parenthèses, il doit être effectué avant tous les autres.

Calcul n°1

Effectuer le calcul suivant : A = 24 – ( 15 – 4 ) + 18

Le calcul 15 – 4 est écrit entre des parenthèses, c’est donc lui que l’on effectue en premier.

A = 24 – 11 + 18

On continue alors en respectant la priorité des opérations.

A = 13 + 18

A = 31

Calcul n°2

Effectuer le calcul suivant :

A = 24 x 3( 24 – 19 ) x 4 + 18

 

Règles de priorités des opérations

Dans une expression numérique comportant des parenthèses, on effectue les calculs- dans l’ordre suivant :

   ● En premier, les calculs écrits entre parenthèses
   ● Ensuite, les multiplications et les divisions
   ● Enfin, les additions et les soustractions

 

Traduire une phrase par un calcul

Le double de la somme de 3 et de 4

Le calcul principal est ici l’addition ; il faudra donc écrire cette addition entre parenthèses.

Il ne reste alors qu’à introduire une multiplication par 2 pour obtenir le double de la quantité initiale.

Appelons B ce calcul :

B = ( 3 + 4 ) x 2

On continue alors en respectant la priorité des opérations.

B = 7 x 2
B = 14

 

Calculs complexes écrits entre parenthèses

Si des calculs sont écrits entre parenthèses,les règles de priorités sont conservées à l’intérieur des parenthèses.

 

Calcul n°3

Effectuer le calcul suivant :

A = 24 – ( 4 x 5 – 15 : 5 )

On doit effectuer en premier les calculs entre parenthèses.

Pour effectuer les parenthèses, on va commencer par effectuer la multiplication et la division.

A = 24 – ( 20 – 3 )
A = 24 – 17
A = 7

 

Un calcul d'aire

Voici deux rectangles ABCD et BEFC :

Calculer l’aire du rectangle ABCD.

Calculer l’aire du rectangle BEFC.

Quelle est la nature du quadrilatère AEFD ?

Calculer l’aire de AEFD de deux façons différentes.

 

Un calcul d'aire (ABCD)

Le rectangle ABCD a pour aire :
AD x AB = 2,5 x 3 = 7,5 cm²


Le rectangle BEFC a pour aire :
BC x BE = 2,5 x 8 = 20 cm²

 

Un calcul d'aire (AEFD)

Voici deux rectangles ABCD et BEFC :


Le quadrilatère AEFD est un rectangle.

Son aire est égale à la somme des aires des rectangles ABCD et BEFC :

Aire AEFD = 7,5 + 20 = 27,5 cm²

L’aire du rectangle AEFD peut aussi se calculer :

AD x AE = 2,5 x ( 3 + 8 ) = 2,5 x 11 = 27,5 cm²

 

Un calcul d’aire, deux calculs ?

Voici deux rectangles ABCD et BEFC :


On observe donc que l’aire du rectangle AEFD peut se calculer de deux manières différentes :

AD x AE = AD x AB + BC x BE

2,5 x ( 3 + 8 ) = 2,5 x 3 + 2,5 x 8

 

Produit d’une somme par un nombre

Pour multiplier une somme par un nombre, on peut :

   ● Soit effectuer l’addition et multiplier la somme obtenue par le nombre
   ● Soit multiplier chacun des termes de la somme par le nombre et ajouter les produits obtenus

 

Propriété des opérations avec parenthèses

k, a et b étant des nombres quelconques :

k ( a + b ) = k a + k b

On admet que si a ≥ b , alors

k ( a – b ) = k a – k b

La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.

 

Définition des opérations avec parenthèses

k, a et b étant des nombres tels que les opérations proposées soient possibles :

 

Développer un produit

Développer l’expression suivante : A = 9 ( 11 + 9 )

 

Factoriser une somme ou une différence

Factoriser l’expression suivante : B = 5,3 x 8,9 – 5,3 x 3,4