Cours maths 5ème

Expression littérale

Après avoir défini ce qu’est une expression littérale et quelles sont les règles d’écriture de telles expressions, ce cours donnera quelques exemples d’expressions littérales à des fins de calcul numérique. Il montrera ensuite comment produire de telles expressions à partir de situations concrètes. Enfin, ce cours abordera la découverte de la notion d’équation par quelques situations demandant de tester des égalités.

 

Expression littérale : définition

Une expression est dite littérale si certains nombres- sont remplacés par des lettres.

Dans une expression littérale, une lettre peut être remplacée par une valeur numérique. A chaque valeur numérique choisie correspond une valeur de l’expression initiale.

 

Expression littérale : écritures simplifiées

Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe « x » indiquant une multiplication:
- entre un nombre et une lettre
- devant une parenthèse

5 x a se note ... 5a
4n ... désigne le produit de 4 par n : 4 x n
3 x ( 5 – a ) se note ... 3(5 – a)
3a + 2 ... désigne le calcul 3 x a + 2

1 x a se note a et pas 1a

 

Expression littérale : carré, cube d’un nombre

Dans une expression littérale :
1/ a x a se note a² et se lit « a au carré »
2/ a x a x a se note a3 et se lit « a au cube »

4² = 4 x 4 = 16
5 x 5 = 5² = 25
23 = 2 x 2 x 2 = 8
3 x 3 x 3 = 33 = 27

 

Exemples d’expressions littérales

Les premières expressions littérales rencontrées sont les formules de calcul...

Si un rectangle a une longueur notée L et une largeur notée l, alors :

Périmètre = 2 L + 2 l
Aire = l x L

 

Si un cercle a un rayon noté R, alors :

Périmètre = 2 x π x R

 

Utilisation en géométrie : exemples

Un rectangle a une longueur notée L et une largeur notée l.

Son périmètre est P = 2 L + 2 l-et-son aire est A = l x L

Calculer son périmètre et son aire -si la longueur mesure 12 cm-et la largeur 7 cm.

Si L = 12 et l = 7 alors :

P = 2 x 12 + 2 x 7 = 24 + 14 = 38
A = 12 x 7 = 84

Si la longueur du rectangle est 12cm et sa largeur 7 cm,-son périmètre est de 38 cm et son aire de 84 cm².

 

 

Un cercle a un rayon noté R.

Son périmètre est P = 2 x π x R

Calculer son périmètre si le rayon mesure 10 cm.

Si R = 10 alors :

P = 2 x π x 10 = 20 π
Si on choisit π = 3,14
P = 20 x 3,14 = 62,8

Si le rayon du cercle est 10 cm, son périmètre exact est de 20 π cm et une valeur approchée du périmètre est de 62,8 cm.

 

Produire une expression littérale

La figure ci-contre a été codée. Utiliser le codage pour exprimer son périmètre en fonction de « s ».

"en fonction de « s »" signifie que l’expression numérique que l’on va obtenir contiendra des calculs faisant intervenir la lettre « s » désignant la longueur du segment.

La figure est constituée de 4 segments ayant pour longueur « s » et de 2 segments de longueur 3 cm.

Son périmètre est :
P = 4 x s + 2 x 3 = 4 s + 6

Notons qu'entre le nombre 4 et la lettre « s » on a omis le signe x ...

Ainsi : 4 s + 6 est une expression littérale.

 

 

Jean veut acheter 3 cahiers et 2 stylos. Il veut, avant de faire son achat, comparer les prix dans différents magasins et savoir quelle sera sa dépense.
Pour cela, il va appeler « c » le prix d’un cahier et « s » le prix d’un stylo. Exprimer le prix P à payer en fonction de c et de s.

Le prix à payer est :
P = 3 x c + 2 x s = 3 c + 2 s
Notons qu'entre les nombres et les lettres, on a omis le signe x ...

Ainsi : 3 c + 2 s est une expression littérale. c et s sont aussi appelés des variables.

Egalité : définition

Une égalité est une « phrase » composée de deux membres séparés par un signe « = » .

Les deux membres d’une égalité doivent représenter la même quantité, avoir la même valeur.

Les deux membres ont la même valeur 40.

5 x 8 = 25 + 15 est une égalité.

Une équation est une égalité dont l’un des deux membres au moins contient une expression littérale.

Quand on remplace les lettres par des valeurs numériques, l’égalité proposée peut être vraie ou fausse.

On propose l’équation suivante : 5 x a = 25

Tester si une égalité est vraie : démarche

Pour tester si une égalité comportant une ou plusieurs lettres est vraie ou fausse, il faut :

1/ Remplacer chacune des lettres par la valeur numérique qui lui correspond.
2/ Calculer séparément chacun des deux membres de l’égalité.
3/ Comparer les deux résultats trouvés.
Les deux résultats trouvés sont identiques ...... l’égalité est vraie pour les nombres choisis !

Les deux résultats trouvés sont différents ...... l’égalité est fausse pour les nombres choisis !

Tester une égalité

On donne l’équation suivante : 5a + 4 = 2a + 10
Pour a = 4
Le premier membre a pour valeur : 5 x 4 + 4 = 20 + 4 = 24
Le deuxième membre a pour valeur : 2 x 4 + 10 = 8 + 10 = 18

 

 

On a toujours l’équation suivante : 5a + 4 = 2a + 10
Pour a = 2
Le premier membre a pour valeur : 5 x 2 + 4 = 10 + 4 = 14
Le deuxième membre a pour valeur : 2 x 2 + 10 = 4 + 10 = 14