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Cours maths seconde

Fonctions cosinus et sinus

Cercle trigonométrique.
Etude des fonctions

 

Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon une unité muni du sens direct (le sens inverse des aiguilles d’une montre).

A tout réel x, on associe un point M du cercle trigonométrique par enroulement de la droite des réels.

Ce point M a une abscisse et une ordonnée dans le repère .

 

Cosinus et sinus

L’abscisse du point M est le cosinus de l’angle x, noté cos(x) ou cos x.
L’ordonnée du point M est le sinus de l’angle x, noté sin(x) ou sin x.

On obtient ainsi deux fonctions définies sur :

 

 

Propriétés :

Pour tout x, cos x et sin x sont compris entre -1 et 1.

Pour tout x,

 

Le radian

Définition :

C’est une unité de mesure des angles différente du degré.

Propriété

(sert à passer du radian au degré et inversement) :

Soient d la mesure d’un angle en degrés et R la mesure de cet angle en radians.

Alors :

 

Exemples (à connaître):

 

Représentation graphique

 

Parité

Propriété :

♦ La fonction cos est paire.

La représentation graphique de la fonction cosinus est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

♦ La fonction sin est impaire.

La représentation graphique de la fonction sinus est donc symétrique par rapport à l’origine O.

 

Périodicité

Définition :

Soient f une fonction définie sur et T un réel strictement positif.
Si, lorsque l’on ajoute T à tout réel x, on retrouve la même image, on dit que f a pour période T :
pour tout x.

Définition :

La fréquence est .

Propriété :

Les fonctions cos et sin ont pour période 2π :
, pour tout x.
, pour tout x.