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Cours maths 3ème

Equations et problèmes

Le but de ce cours est de travailler sur les tests d’égalités, les résolutions d’équations, la mise en équation de problèmes et les équations produit.

 

Avant de commencer

Définition :

Une solution d’une équation est une valeur qui vérifie l’égalité de l’équation.

 

Exemple 1 : -3 est-il solution de l’équation 4y + 8 = 5y + 11 ?

D’une part : 4 × (-3) + 8 = -12 + 8 = -4
D’autre part : 5 × (-3) + 11 = -15 + 11 = -4
Donc -3 est solution de l’équation 4y + 8 = 5y + 11

 

Exemple 2 : -3 est-il solution de l’équation 3y + 8 = 2y + 7 ?

D’une part : 3 × (-3) + 8 = -9 + 8 = - 1
D’autre part : 2 × (-3) + 7 = -6 + 7 = 1 - 1 ≠ 1
Donc -3 n’est pas solution de l’équation 3y + 8 = 2y + 7

 

A toi de jouer

Exercice 1 : -2 est-il solution de l’équation 3x – 4 = 4x + 2 ?

D’une part : 3 × (-2) – 4  = -6 – 4  = -10
D’autre part : 4 × (-2) + 2 = -8 + 2 = - 6
Donc -2 n’est pas solution de l’équation 3x – 4 = 4x + 2 

 

Exercice 2 : --2 est-il solution de l’équation -3x + 9 = 5x + 25 ?

D’une part : -3 × (-2) + 9  = 6 + 9 = 15
D’autre part : 5 × (-2) + 25 = -10 + 25 = 15
Donc -2 est solution de l’équation -3x + 9 = 5x + 25

 

 

Rappels : transformations d'égalités

 

Règle 1 : Quels que soient les nombres relatifs a, b et c

Si a = b alors a + c = b + c
Si a = b alors a – c = b – c

 

Exemple : Résoudre x – 11 = 8.
x – 11 = 8
x – 11 + 11 = 8 + 11
x = 19

 

Règle 2 : Quels que soient les nombres relatifs a, b et c avec c ≠ 0 :

Si a = b alors a × c = b × c
Si a = b alors a ÷ c = b ÷ c

 

Exemple : Résoudre 2x = 18.
2x = 18
2x ÷ 2 = 18 ÷ 2
x = 9

 

Applications à la résolution d'équations

Résoudre les équations suivantes :

a) x + 5 = 10
x + 5 – 5 = 10 – 5
x = 5

 

b) x – 3 = 14
x – 3 + 3 = 14 + 3

 

c) 2x = 7
2x ÷ 2 = 7 ÷ 2
x = 3,5

 

d) 3x = 7

 

Méthode de résolution d'équations

1) On regroupe les termes en « x » dans un même membre et on réduit.

2) On regroupe les termes « sans x » dans l’autre membre et on réduit.

3) On résout.

 

Exemple :

3x + 1 = 5 – 2x
3x + 1 + 2x = 5 – 2x + 2x
5x + 1 = 5
5x + 1 - 1 = 5 - 1
5x ÷ 5 = 4 ÷ 5
x = 0,8

 

Facteur nul

Calculer les produits suivants :

8 × 0 = 0

3,6 × 0 = 0

0 × (-2,8) = 0

-21× 0 = 0

En observant les résultats obtenus, compléter la propriété :

Si un facteur d’un produit est nul, alors le produit de facteurs est nul.

On admet la propriété « réciproque » suivante :

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.

Que veut dire « au moins l’un » ?

Cela signifie qu’il y a au minimum un facteur nul, mais il peut y en avoir plusieurs.

 

Equation produit

Propriété :

Si un produit de facteurs est nul alors au moins l’un des facteurs est nul.
Pour tous nombres a et b :
Si a × b = 0 alors a = 0 ou b = 0

 

Propriété :

(2x – 3)(x + 2) = 0


Si un produit de facteurs est nul alors au moins l’un des facteurs est nul.

2x – 3 = 0 ou x + 2 = 0
2x = 3 x = -2
x = 3 ÷ 2 = 1,5
Donc S = { -2 ; 1,5}