Triangle rectangle et cercle circonscrit
Cours maths 4ème
Triangle rectangle et cercle circonscrit : Ce cours tente d’étudier les propriétés du cercle circonscrit d’un triangle rectangle et de sa médiane relative à l’hypoténuse, ainsi que les réciproques de ces propriétés. Pour aborder ce chapitre, l’élève devra mobiliser toutes ses connaissances sur la médiatrice d’un segment et les propriétés s’y rattachant. |
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Un peu de vocabulaire sur le triangle rectangle
Soit un triangle ABC rectangle en B :
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Rappel :
L’hypoténuse est le côté qui a la
plus grande mesure :
BA < AC
BC < AC
Soit un triangle DEF :
Traçons les trois médiatrices des trois côtés de ce triangle.
On obtient un point, notons-le O, qui est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle DEF.
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Définition :
Le cercle circonscrit d’un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.
Propriété :
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
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Soit PON un triangle rectangle en O tel que I est le milieu de son hypoténuse [PN].- Si T est le symétrique de O par rapport à I alors I est le milieu du segment [TO].
- On en déduit que PONT est un parallélo-gramme car ses diagonales se coupent en leur milieu I.
- Or, si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle. Donc PONT est un rectangle.
- Les diagonales [OT] et [PN] sont de même longueur et IO = IN = IT = IP.
Que peut-on dire du cercle de centre I et de rayon [IP] ?
On peut dire que le cercle de centre I et de rayon [IP] passe par les points P, O, N et T. C’est le cercle circonscrit au triangle PON rectangle en O.
Caractérisation du triangle rectangle
Théorème :
Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse et la médiane relative à l’hypoténuse a pour mesure la moitié de celle de l’hypoténuse.
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Exemple :Hypothèses :
KAO est un triangle rectangle en K ; J est le milieu de [AO].
Conclusions :
Le cercle circonscrit au triangle KAO a pour diamètre [OA] et JK = OA ÷ 2.
Réfléchissons...
- Soit le cercle de diamètre [RZ] et A le milieu de [RZ].
- Soit I un point appartenant à ce cercle différent des points R et Z.
- Si O est le symétrique de I par rapport à A alors A est le milieu du segment [OI], AO = AI. Comme [AI], [AR] et [AZ] sont des rayons du cercle, AI = AR = AZ.
Que peut-on dire du quadrilatère ROZI ?
On peut dire que le quadrilatère ROZI a des diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de même longueur.
ROZI est donc un rectangle.
Que peut-on dire du triangle RIZ ?
Le triangle RIZ est un triangle rectangle en I.
La réciproque
Théorème :
Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point de ce cercle alors ce triangle est rectangle.
Exemple :Hypothèses :
Les points F, E et R appartiennent au cercle. [FE] est un diamètre de ce cercle.
Conclusion :
Le triangle FER est rectangle en R.
Une autre formulation
Théorème :
Si, dans un triangle, la mesure d’une médiane est la moitié de celle du côté dont elle est relative alors ce triangle est rectangle.
Exemple :Hypothèses :
Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et MC = AB ÷ 2.
Conclusion :
Le triangle ABC est rectangle en C.
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