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Cours maths 4ème

Théorème des milieux

Le but de ce cours est d’expliquer le théorème des milieux et sa réciproque et d’utiliser ces deux théorèmes dans des raisonnements en géométrie. Il permet ainsi d’initier l’élève à la démonstration.

 

 

Le théorème des milieux

Énoncé:

•   ABC est un triangle quelconque
•   D est le milieu du segment [AB]
•   et E est le milieu du segment [AC].

Question: Que peut-on dire des droites (DE) et (BC) ?

Ce résultat est valable quel que soit le triangle choisi !

Résultat:

On admettra que la droite (DE) est parallèle à la droite (BC).

De manière générale: Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors cette droite est parallèle au troisième côté.

Énoncé:

•   IJK est un triangle quelconque
•   M est le milieu du segment [IJ]
•   N est le milieu du segment [JK]
•   et O est le milieu du segment [IK].

Question: Que peut-on dire des distances MN, IO et OK ?

Résultat:

On admettra que les distances MN, IO et OK sont égales.
On peut écrire : MN = IO = OK = IK ÷ 2

De manière générale: Dans un triangle, si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés du triangle alors il mesure la moitié du troisième côté.

Ce résultat est valable quel que soit le triangle choisi !

 

La réciproque du théorème des milieux

Énoncé:

•   EDF est un triangle quelconque
•   T est le milieu du segment [ED]la droite passant par T parallèlement à la droite (EF) coupe le segment [DF] en U.

Question: Que peut-on dire du point U ?

Résultat:

On admettra que le point U est le milieu du segment [DF].
On peut écrire : FU = UD = FD ÷ 2

De manière générale: Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté parallèlement à un deuxième côté alors cette droite coupe le troisième côté en son milieu.

Ce résultat est valable quel que soit le triangle choisi !