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Cours maths 5ème

Périmètre d'une figure

Ce chapitre définit en premier ce qu’est un périmètre d’une figure plane; la notion d’unité de longueur lui sera ensuite reliée. Les formules de calculs du périmètre des figures les plus classiques (triangle, triangle équilatéral, rectangle, losange, carré, cercle), et la façon de déterminer le périmètre de figures plus complexes seront abordées par la suite.

 

Définition du périmètre d'une figure

Définition

Le périmètre d’une figure géométrique fermée est la longueur de la ligne qui entoure cette figure.

Exemple:
Le périmètre de la figure F est égal à la longueur de la ligne noire qui entoure la surface verte.

Unités de longueur

Le périmètre d’une figure géométrique fermée est exprimé en fonction d’une unité de longueur.

Cette unité peut être la longueur d’un segment : côté d’un carreau dans un quadrillage, segment reporté pour tracer la figure, …

Cette unité peut être une unité du système métrique : le mètre ou l’un des multiples ou de ses sous-multiples.

 

Calcul du périmètre d’une figure

On choisit la longueur u du côté d’un carreau du quadrillage comme unité de longueur.

Le périmètre P de la surface coloriée en bleu est la longueur de la ligne qui entoure cette figure, exprimée dans l’unité de longueur choisie.

On écrira : P = 14 u

 

On choisit comme unité de longueur le centimètre (cm). On donne u = 0,8 cm.

Le périmètre P de la surface coloriée en bleu est la longueur de la ligne qui entoure cette figure, exprimée en centimètres.

On a : P = 14 u et u = 0,8 cm.

Le périmètre de la surface est alors :
P = 14 x 0,8 = 11,2 cm

 

Périmètre d’un polygone quelconque

Le périmètre P de la figure ci-contre est égal à la somme des longueurs des différents côtés du polygone.

Ce polygone est composé de 5 côtés qui mesurent 2,24 dm et de 5 côtés représentant 7 côtés de carreaux du quadrillage qui mesurent 1 dm chacun.

P = 2,24 x 5 + 1 x 7
= 11,2 + 7
= 18,2 dm

Le polygone a un périmètre de 18,2 dm.

 

Périmètre d’un triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral.
Un triangle équilatéral a 3 côtés de même longueur.
On désigne par a la longueur du côté et par P le périmètre du triangle.
P = a + a + a

Exemple :
on donne a = 3,6 cm
alors P = 3,6 x 3 = 10,8 cm.

Le triangle équilatéral a un périmètre de 10,8 cm.

 

Périmètre d’un rectangle

Voici un rectangle. On désigne par L la longueur du rectangle et par ℓ sa largeur.

P désigne le périmètre du rectangle :
P = 2L + 2ℓ ou P = 2 (L + ℓ)

Exemple:
On donne L = 5 cm et ℓ = 2 cm
Alors P = 2 ( 5 + 2 ) = 2 x 7 = 14 cm

Le rectangle a un périmètre de 14 cm.

 

Périmètre d’un losange ou d’un carré

ABCD est un losange et EFGH est un carré dont les côtés ont la même longueur.

On désigne par c la longueur du côté du losange et du carré.

Le carré et le losange ont le même périmètre P.

P = 4 c

Exemple :
On donne c = 5,5 cm.
Alors P = 5,5 x 4 = 22 cm.

Le carré et le losange ont un périmètre de 22 cm.

 

Longueur d’un cercle

Voici un cercle de centre O. On désigne par r la longueur du rayon du cercle et par d son diamètre. P désigne la longueur du cercle. P = 2 π r ou P = π d

Rappels : d = 2 r et π ≈ 3,14

Exemple :

On donne r = 10 cm.
Alors P = 2 x 10 x π = 20 π ≈ 62,8 cm

Le cercle a une longueur d’environ 62,8 cm.
Sa longueur exacte est 20 π.

 

Périmètre de figures complexes

Une figure géométrique peut aussi être beaucoup plus complexe.
Elle peut être composée de plusieurs parties dont il faudra :

1/ déterminer les longueurs séparément
2/ ajouter ensuite ces longueurs.

Exemple

La figure est composée de 3 segments et de 2 demi-cercles.
Les 3 côtés rectilignes ont pour longueur 3 cm, 2 cm et 6 cm.
Un demi-cercle a pour rayon 2 cm, l’autre 1,5 cm.
Le demi-cercle de rayon 2 cm, a pour longueur : L1 = 2 x 2 x π : 2 ≈ 6,28 cm
Le demi-cercle de rayon 1,5 cm, a pour longueur : L2 = 2 x 1,5 x π : 2 ≈ 4,71 cm
Les parties rectilignes ont pour longueur totale : L3 = 3 + 2 + 6 = 11 cm

Pour la figure précédente, on a :
Périmètre ≈ 6,28 + 4,71 + 11 = 21,99 cm.