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Cours maths seconde

Triangles isométriques

Caractériser analytiquement une droite.
Reconnaître que deux droites sont parallèles.
Etude des cas d’isométrie et applications.

Definition

Deux triangles sont dits isométriques si leurs côtés sont deux à deux de même longueur.

ABC et MNP sont isométriques

(on respecte l’ordre des lettres)

   

Exemple

ABC est un triangle isocèle en A.
H le milieu de [BC].

Les triangles ABH et ACH sont isométriques :

•&nbsp AB = AC car le triangle ABC est isocèle en A.
•&nbsp BH = CH car H est le milieu de [BC].
•&nbsp [AH] est un coté commun aux deux triangles.

Théorème

Deux triangles sont isométriques si et seulement si l’un est l’image de l’autre par une translation, une symétrie axiale, une rotation ou une succession de telles transformations.

Exemples

•&nbsp Dans l’exemple de la section précédente, ABH est le symétrique de AHC par la réflexion d’axe (AH).
•&nbsp Ci-dessous, MNP est l’image de ABC dans la translation de vecteur

Conséquences

Du théorème précédent, on en déduit une propriété importante sur les triangles isométriques :

Propriété: Si deux triangles sont isométriques, alors :

•&nbsp leurs angles sont égaux
•&nbsp leur aires sont égales

Remarques

La réciproque de la propriété précédente n’est pas vraie : Des triangles ayant des angles égaux ne sont pas forcément isométriques ; de même, des triangles ayant la même aire ne sont pas forcément isométriques.

On dispose de 2 cas d’isométries : ce sont des propriétés utiles pour démontrer que des triangles sont isométriques sans avoir à démontrer les trois égalités de longueur.

Ces deux cas d’isométries sont présentés dans les diapositives suivantes.

Cas d'isométrie n°1

« Un angle compris entre deux cotés »

Théorème 1: Si deux triangles ont un même angle compris entre deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques.

ABC et MNP sont isométriques

Cas d'isométrie n°2

« Deux angles adjacents à un coté »

Théorème 2: Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont isométriques.

ABC et MNP sont isométriques