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Cours maths 4ème

Triangle rectangle et cercle circonscrit

Ce cours tente d’étudier les propriétés du cercle circonscrit d’un triangle rectangle et de sa médiane relative à l’hypoténuse, ainsi que les réciproques de ces propriétés. Pour aborder ce chapitre, l’élève devra mobiliser toutes ses connaissances sur la médiatrice d’un segment et les propriétés s’y rattachant.

 

Un peu de vocabulaire sur le triangle rectangle

Soit un triangle ABC rectangle en B:

Rappel:

L’hypoténuse est le côté qui a la plus grande mesure :
BA AC
BC AC

Soit un triangle DEF :

Traçons les trois médiatrices des trois côtés de ce triangle.
On obtient un point, notons-le O, qui est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle DEF.

Définition

Le cercle circonscrit d’un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.

Propriétés

Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Réfléchissons...

Soit PON un triangle rectangle en O tel que I est le milieu de son hypoténuse [PN].
Si T est le symétrique de O par rapport à I alors I est le milieu du segment [TO].
On en déduit que PONT est un parallélo-gramme car ses diagonales se coupent en leur milieu I.
Or, si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle. Donc PONT est un rectangle.
Les diagonales [OT] et [PN] sont de même longueur et IO = IN = IT = IP.

Que peut-on dire du cercle de centre I et de rayon [IP] ?

On peut dire que le cercle de centre I et de rayon [IP] passe par les points P, O, N et T. C’est le cercle circonscrit au triangle PON rectangle en O.

 

Caractérisation du triangle rectangle

Théorème:

Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse et la médiane relative à l’hypoténuse a pour mesure la moitié de celle de l’hypoténuse.

Exemple:

Hypothèses:
KAO est un triangle rectangle en K ; J est le milieu de [AO].

Conclusions:
Le cercle circonscrit au triangle KAO a pour diamètre [OA] et JK = OA ÷ 2.

Réfléchissons...

Soit le cercle de diamètre [RZ] et A le milieu de [RZ].
Soit I un point appartenant à ce cercle différent des points R et Z.
Si O est le symétrique de I par rapport à A alors A est le milieu du segment [OI], AO = AI>. Comme [AI], [AR] et [AZ] sont des rayons du cercle, AI = AR = AZ.

Que peut-on dire du quadrilatère ROZI ?

On peut dire que le quadrilatère ROZI a des diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont de même longueur.

ROZI est donc un rectangle

Que peut-on dire du triangle RIZ ?

Le triangle RIZ est un triangle rectangle en I.

La réciproque
Théorème :

Si, dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point de ce cercle alors ce triangle est rectangle.

Exemple:

Hypothèses:
Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et MC = AB ÷ 2.

Conclusions:
Le triangle ABC est rectangle en C.