Cours maths seconde

Equations

Etude des méthode de résolution des différents type d’équation au programme cette année (premier degré,produit, quotient, avec carré, avec radical).
Application aux fonctions.

Notations

Dans tout ce chapitre :

● I est un intervalle de ℜ
● f et g sont des fonctions définies sur I
● a est un nombre réel tel que a ∈ I

Définition

Une solution de l’équation f(x) = 0 dans l’ensemble I est un nombre a ∈ I tel que f(a) = 0.

x s’appelle l’inconnue de l’équation.

Résoudre l’équation f(x) = 0 dans l’ensemble I, c’est trouver toutes les solutions.

L’ensemble des solutions sera noté S.

Introduction

Nous allons étudier différents types d’équations qui font appel à des méthodes différentes : équations du premier degré, produit, quotient, avec carré, avec radical, …

 

Equations du premier degré

Une équation du premier degré est une équation d’inconnue x de la forme

Exemple :

Résoudre -2x + 3 = 0

Il y a une solution qui est 1,5

 

Equation produit

Une équation produit est une équation de la forme :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.

Exemple :

Résoudre l’équation

Il y a deux solutions : -2 et -1/2

 

Equation quotient

Une équation quotient est une équation de la forme :

Un quotient, dont le dénominateur n’est pas nul, est nul si et seulement si le numérateur est nul.

Une valeur qui annule le dénominateur est appelée valeur interdite.

Exemple

Résoudre l’équation

- Recherche des valeurs interdites:

1 est la seule valeur interdite

- Résolution de l’équation:

Conclusion

Il y a une solution : -1/4.

 

Equation du type x² = a

Si a > 0 alors l’équation x² = a admet deux solutions :

Exemples :

1) Résoudre l’équation x² = 49.

L’équation admet deux solutions : 7 et -7.

2) Résoudre l’équation 3x² + 5 = 197



L’équation admet deux solutions : 8 et -8.

 

Equation du type √x = b

Si b > 0 alors l’équation √x = b admet une solution b² :
Toutes les valeurs négatives sont des valeurs interdites.

Exemples :

1) Résoudre l’équation √x = 16.
L’équation admet une solution : 16² = 256

2) Résoudre l’équation

Toutes les valeurs plus petites que ½ sont des valeurs interdites.

L’équation admet une solution : 17/2

 

Application aux fonctions

1 - Recherche d’antécédents

Méthode : Chercher les antécédents de y par ƒ revient à résoudre l’équation ƒ(x) = y.

2 - Recherche de points d’intersection de deux courbes.

Méthode : Chercher les points d’intersection de Cƒ et Cg revient à résoudre l’équation ƒ(x) = g(x).