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Cours maths 5ème

Aire d'une surface plane

Ce chapitre va expliquer comment déterminer graphiquement l’aire de plusieurs surfaces plus ou moins complexes, soit en fonction d’une unité d’aire quelconque définie préalablement, soit en fonction d’unités d’aires normalisées, comme le cm² par exemple. Les formules de calcul de l’aire de surfaces usuelles et la façon de les utiliser dans le cas de figures plus complexes, décomposables en figures usuelles, seront abordées par la suite.

 

Définition de l'aire d'une surface

L’aire d’une surface est la mesure de la portion de plan recouverte par cette surface en fonction d’une unité d’aire choisie.

Exemple:

L’aire de la surface F est égale au nombre de carreaux recouverts par cette surface, soit : 15 unités d’aire.

 

Unités d'aires

L’aire d’une figure géométrique fermée est exprimée en fonction d’une unité d’aire.

•   Cette unité peut être choisie arbitrairement en fonction du contexte de la figure, par exemple, le carreau dans un quadrillage.
•   Cette unité peut être une unité du système métrique : le mètre carré (m²) ou l’un de ses multiples ou de ses sous-multiples.

 

Calcul de l'aire d'une surface

On choisit le carreau du quadrillage comme unité d’aire.

L’aire A de la surface coloriée en bleu est égale au nombre de carreaux du quadrillage qu’elle recouvre.

On écrira :

A = 6 unités d’aire

Le carreau mesure 1 cm de côté ; son aire est donc 1 cm²

On choisit le cm² du quadrillage comme unité d’aire.

L’aire A de la surface coloriée en bleu est :

A = 6 cm²

 

Aire d'un polygone quelconque

L’aire A de la figure ci-contre est égale au nombre de carreaux recouverts par la surface bleue.

On va décomposer cette surface en surfaces plus petites et dont il est facile de déterminer l’aire.

- La partie 1 mesure 2 dm²
- La partie 2 mesure 4 m²
- La partie 3 mesure1 dm²
- Les parties 4, 5, 6 , 7 et 8 ont la même aire, celle de la moitié d’un rectangle de 2 dm².

L’aire du polygone est donc :

A = 2 + 4 + 1 + 5 ( 2 : 2 )

A = 2 + 4 + 1 + 5 x 1

A = 12 dm²

 

Aire d'un rectangle

Voici un rectangle.

On désigne par L la longueur du rectangle et par l sa largeur.

A désigne l’aire du rectangle

A = L x l ou A = L l

Exemple :

on donne L = 5 cm et l = 2 cm

alors A = 5 x 2 = 10 cm²

•     Le rectangle a une aire de 10 cm².

 

Aire d'un carré

EFGH est un carré dont les côtés ont pour longueur « c ».

Le carré a pour aire :
- A = c x c

qui se note aussi
- A = c²

Exemple:

on donne
c = 5,5 cm

alors : A = 5,5 ²
= 5,5 x 5,5
= 30,25 cm²

•     Le carré a une aire de 30,25 cm².

 

Aire d'un triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en A.

Son aire A est égale à la moitié de celle du rectangle ABDC.

A = AB x AC : 2

L’aire d’un triangle rectangle est égale au demi produit des longueurs des côtés de l’angle droit.

Exemple:

on donne
  AC = 3,7 cm et AB = 2,4 cm

alors
  A = 3,7 x 2,4 : 2
  = 8,88 : 2
  = 4,44 cm²

 

Aire d'un triangle quelconque (recherche)

ABC est un triangle quelconque.

On construit la parallèle à (BC) passant par A et les perpendiculaires à (BC) passant respectivement par B et C.

BCED est alors un rectangle.

On construit alors la perpendiculaire à (BC) passant par A.
H est son point d’intersection avec (BC).

On obtient deux rectangles ADBH et AECH.

•     Le triangle rectangle ABH a pour aire la moitié de celle du rectangle ADBH.
•     Le triangle rectangle AHC a pour aire la moitié de celle du rectangle AECH.
•     Le triangle ABC a donc pour aire la moitié de l’aire du rectangle BDEC.

 

Calcul de l'aire d'un triangle quelconque

Le rectangle BCED a pour longueur BC et pour largeur BD.

[AH] est la hauteur du triangle ABC relative au côté [BC].

On a BD = AH = EC2

L’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de la longueur d’un côté par la hauteur correspondante.

 

Aire d'un parallélogramme (recherche)

Soit ABCD un parallélogramme.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles ainsi que les droites (AD) et (BC).

On construit les perpendiculaires à (AB) passant par D, A, C et B. Elles sont aussi perpendiculaires à (DC).

EAFD et HBGC sont donc des rectangles de mêmes dimensions ; [AD] est une diagonale du rectangle EAFD et [BC] est une diagonale du rectangle HBGC.

     - Les triangles rectangles AED, AFD, BHC et BGC ont la même aire.
     - Le parallélogramme ABCD, le rectangle EHCD et le rectangle ABGF ont donc la même aire.

 

Calcul de l'aire d'un parallélogramme

Soit ABCD un parallélogramme.

Le parallélogramme ABCD, le rectangle EHCD et le rectangle ABGF ont la même aire.

I est un point quelconque du côté [AB] et J est le point de la droite (DC) tel que [IJ] est perpendiculaire aux droites (AB) et (DC).

On a IJ = AF = ED = HC = BG = hauteur du parallélogramme

Aire du rectangle ABGF = AB x BG
    = AB x IJ
    = Aire du parallélogramme ABCD

Aire du parallélogramme :

Longueur d’un côté x hauteur correspondante

 

Aire d'un disque

Voici un disque de centre O.
On désigne par r la longueur du rayon du disque.
A désigne l’aire du disque.


A = π r²

Rappel : π ≈ 3,14

Exemple :

on donne r = 10 cm
alors A = 10² x π
    = 100 π
    ≈ 314 cm²

Le disque a une aire d’environ 314 cm².
Son aire exacte est 100 π

 

Aire de figures complexes

Une figure géométrique peut aussi être beaucoup plus complexe.

Elle peut être composée de plusieurs parties dont il faudra :
  • 1/ déterminer les aires séparément
  • 2/ ajouter ensuite ces aires.

La figure est composée d’un rectangle et de 2 demi disques.

Un demi disque a pour rayon 2 cm, l’autre 1,5 cm.

Le rectangle a pour longueur 6 cm et pour largeur 3 cm

Le demi disque de rayon 2 cm, a pour aire :
  • A1= 2 x 2 x π : 2 ≈ 6,28 cm²

Le demi disque de rayon 1,5 cm, a pour aire :
  • A2 = 1,5 x 1,5 x π : 2 ≈ 3,5325 cm²

Le rectangle a pour aire:
  • A3 = 6 x 3 = 18 cm²

 

Pour la figure ci-contre :

Aire ≈ 6,28 + 3,5325 + 18
Aire ≈ 27,8125 cm²