Agrandissement et réduction
Cours maths 3ème
Agrandissement et réduction : L'objectif est ici de travailler sur les agrandissements et les réductions ainsi que leurs effets sur les longueurs, les aires de figures et les volumes de solides. |
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Agrandissement et réduction : définition
Définition :
Multiplier toutes les dimensions d’une figure ou d’un solide (longueurs des côtés, des arêtes, rayons) par un nombre k, c’est en faire :
- - Un agrandissement si k > 1
- - Une réduction si k < 1
Les mesures des angles de la figure sont inchangés.
On considère le plan d’un appartement réalisé à l’échelle 1/ 200 :
On donne :
AB = 6,5 cm et
AD = 2,5 cm.
Quelles sont les dimensions réelles de cet appartement ?
Le plan est réalisé à l’échelle 1/200 signifie que :
- - Le plan est une réduction de l’appartement de coefficient 1/200 ou
- - L’appartement est un agrandissement du plan de coefficient 200.
6,5 × 200 = 1300 cm = 13 m et 2,5 × 200 = 500 cm = 5 m
Les dimensions réelles de cet appartement sont 13 mètres et 5 mètres.
Activité : agrandissement d'un cube
On considère un cube C1 d’arête 2 cm.
1) Calculer l’aire d’une face et le volume de ce cube.
Aire d’une face : A = 2² = 4 cm²
Volume du cube : V = 23 = 8 cm3 .
2) On multiplie la longueur de toute les arêtes par 3 on obtient le cube C2.
a) Quelle est la longueur des arêtes du cube C2 ?
b) Calculer l’aire de chaque face du cube C2 puis le volume de ce cube.
a) Les arêtes du cube C2 mesurent 2 × 3 = 6 cm.
b) A = 6² = 36 cm².
L’aire de chaque face du cube C2 est 36 cm².
V = 63 = 216 cm3 .
Le volume du cube C2 est 216 cm3.
3) a) Par quel nombre l’aire de chaque face du cube C1 a-t-elle été multipliée pour obtenir l’aire de chaque face du cube C2 ?
On divise l’aire d’une face du cube C2 par l’aire d’une face du cube C1 :
36 ÷ 4 = 9 = 3²
b) Par quel nombre le volume du cube C1 a-t-il été multiplié pour obtenir le volume du cube C2 ?
On divise le volume du cube C2 par le volume du cube C1 :
216 ÷ 8 = 27 = 33
Propriétés des agrandissements et réductions sur les aires et volumes
Propriétés :
Quand on agrandit, ou on réduit une figure, si les dimensions (ou longueurs) sont multipliées par k, alors :
- Les aires sont multipliées par k²
- Les volumes sont multipliés par k3.
- Les volumes sont multipliés par k3.
Exemples
Exemple 1 :
Un terrain d’aire A = 900 m² est représenté sur un plan à l’échelle 1/2000.
Quelle est l’aire du terrain sur le plan ?
A’ = 900 × (1 / 2 000)² = 900 × (1 / 4 000 000 )= 0, 000 225 m² = 2,25 cm².
Donc, sur le plan, l’aire du terrain est 2,25 cm².
Exemple 2 :
Un pavé a un volume V de 125 cm3. Ses dimensions sont multipliées par 2.
Quel est le volume du pavé agrandit ?
V’ = 125 × 23 = 125 × 8 = 1 000 cm3.
Le volume du pavé agrandit est 1 000 cm3.
Section d'une pyramide ou d'un cône de révolution
| La section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. |
| Cela signifie que c’est une figure de même nature (rectangle, carré, cercle…) mais dont les longueurs sont proportionnelles à la base. |
Exemple : pyramide
Exemple :
Le plan est parallèle à la base ABCDEF donc :
La section HIJKLM est une réduction de l’hexagone ABCDEF.
Le coefficient de réduction est :
Exemple : cône de révolution
Exemple :
Le plan est parallèle à la base donc :
La section est un cercle.
Ce cercle est une réduction de la base du cône.
Le coefficient de réduction est :
Cours complémentaires : |
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