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Cours maths 4ème

Agrandissement et réduction dans le plan

Ce cours vise à étudier les propriétés d’un agrandissement ou d’une réduction : conservation des angles, du parallélisme, multiplication des longueurs par un coefficient, … Certaines situations pourront être analysées grâce à l’utilisation du théorème de Thalès.

Que fait-on ?

Dans ce premier cas, on a agrandi le carré de gauche pour obtenir le carré de droite en multipliant les longueurs des côtés par 2.

Dans ce deuxième cas, on a réduit le triangle de gauche pour obtenir le triangle de droite en multipliant les longueurs par un tiers (ou en divisant les longueurs des côtés par trois).

 

Définition de l'agrandissement et de la réduction dans le plan

Agrandir ou réduire un objet, c’est transformer cet objet en multipliant les longueurs par un coefficient de proportionnalité appelé respectivement le coefficient d’agrandissement ou de réduction.

Propriétés:

• Le coefficient de proportionnalité est strictement supérieur à 1 si et seulement si il s’agit d’un agrandissement.

• Le coefficient de proportionnalité est strictement compris entre 0 et 1 si et seulement si il s’agit d’une réduction.

• Les agrandissements et les réductions conservent les angles.

• Les agrandissements et les réductions conservent le parallélisme.

Remarque:

Le coefficient d’agrandissement ou de réduction est aussi appelé le rapport d’agrandissement ou de réduction.

Proportionnalité et théorème de Thalès

Il est important de faire le lien entre ces transformations que sont les agrandissements et les réductions et la situation de proportionnalité qui lie les longueurs de la figure initiale et les longueurs de la figure finale.

Exemple:

Le triangle AFI est un agrandissement du triangle ABC. Le coefficient d’agrandissement est égal à 4.

C'est-à-dire:

ou encore:

L’utilisation du théorème de Thalès permet alors d’analyser certaines constructions utilisant un agrandissement ou une réduction.

Remarques:

Pour passer du triangle AFI au triangle ABC, on utilise la réduction de coefficient égal à 1/4.

On a aussi :