Vecteurs de l'espace

Cours maths 1ère S

Vecteurs de l'espace :
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Notion de vecteur de l’espace
 
 La notion de vecteur du plan se généralise sans difficulté à l’espace.


        Soient A et B deux points distincts de l’espace.
         Le vecteur   est parfaitement déterminé par : 
      
        - sa direction : celle de la droite (AB),
                                                      - son sens : de A vers B,
                                                      - sa norme : la distance AB aussi notée 

 
 
 

Les vecteurs de l’espace ont les mêmes propriétés que les vecteurs du plan.

 

 
 

 Vecteurs égaux
 

       Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.
      Les deux vecteurs non nuls  et    sont égaux.

       - si et seulement si ils ont même direction, même
              sens et même longueur,
- si et seulement si ABCD est un parallélogramme.  



 







 
Vecteurs opposés




   
  Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.
Les deux vecteurs non nuls       et     sont
opposés si et seulement si ils ont même direction,
des sens opposés et même norme.




Les deux vecteurs       et     sont opposés
    si et seulement si les vecteurs    et    sont égaux.


    Vecteurs coplanaires

    Des vecteurs sont coplanaires si et seulement
    en traçant leurs représentants à partir d’un même
    point A, les extrémités de ces représentants sont
coplanaires avec A.


     Les vecteurs    ,   et  sont
coplanaires.
Les vecteurs    ,   et  ne sont pas
                           coplanaires.         




Deux vecteurs sont toujours coplanaires.




  


Somme de deux vecteurs



Soient      et   deux vecteurs de l’espace.
Comme les vecteurs et  sont coplanaires,
on peut obtenir la somme de ces deux vecteurs
en utilisant les deux méthodes utilisées dans le plan :
 
- la règle du parallélogramme,
- la relation de Chasles.


    Règle du parallélogramme

  où D est le point tel que ABDC est
un parallélogramme.


Relation de Chasles
 


Produit d’un vecteur par un scalaire

Soit     un vecteur de l’espace et soit k un nombre réel.
On définit le vecteur    de la façon suivante :

->  Si k=0 alors

-> Si  alors

->  Si   et   alors est le vecteur qui a :

- même direction que .

- même sens que si et  sens contraire à celui de si

pour norme celle de;multipliée par |k| : 

 




Produit d'un vecteur par un scalaire





Calcul vectoriel

   

L’addition des vecteurs et la multiplication d’un vecteur
par un scalaire dans l’espace ont les mêmes propriétés
que dans le plan.





  
Soient    et    deux vecteurs de l’espace et k et k’ deux nombres réels.   
Alors

 






Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si et
seulement si l’un des deux est le produit de l’autre par
un scalaire.

et colinéaires

             
Les vecteurs et sont colinéaires.

Les vecteurs et sont colinéaires.







Vecteurs colinéaires

      

  1) Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur   car 

  2) Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.     
           

Vecteurs colinéaires et droites



Soient A et B deux points distincts de l’espace.
Un point M de l’espace appartient à la droite (AB)
si et seulement si les vecteurs      et     sont
colinéaires.

On a donc :
le point M appartient à la droite (AB) si et seulement si
il existe un nombre réel t tel que :







                        



Vecteurs colinéaires et droites


  Soient A, B, C et D quatre points de l’espace.
Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles
si et seulement si les vecteurs    et
        sont colinéaires.



                                           
Les vecteurs      et   sont colinéaires.
Les deux droites (AB) et (CD)
sont parallèles.
 




 Plans de l’espace



Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace.
Un point M de l’espace appartient au plan (ABC) si et
seulement si  il existe deux nombres réels x et y
tels que 








Repères de l’espace

   
Un repère de l’espace est un quadruplet    formé
- d’un point O appelé origine du repère,
- d’un triplet    de vecteurs non coplanaires. 


Si les vecteurs    sont deux à deux
orthogonaux, le repère          est dit
orthogonal.
Si de plus on a 

   On dit que le repère       est  orthonormé.






 Coordonnées d’un point de l’espace      


     Soit        un repère de l’espace. Pour tout point M de
l’espace il existe un unique triplet (x,y,z) de nombres réels tels que: 




s’appelle l’abscisse de M
s’appelle l’ordonnée de M
s’appelle la côte de M

      (x,y,z) sont les coordonnées
du point M dans le repè
re .








Coordonnées d’un point de l’espace  




 Plans de coordonnées


         
Un point M de coordonnées (x,y,z) dans le
repère         de l’espace appartient
au plan (xOy) si et seulement si  z=0     

              z=0 est une équation du plan (xOy).

De même, le plan (yOz) a pour équation x=0.
Le plan (xOz) a pour équation y=0.
Les trois plans (xOy) , (yOz) et (xOz)
sont les trois plans coordonnées. 





Règles de calcul


Si dans un repère on a      et        , 

  alors
a pour coordonnées  

                           et, pour tout nombre réel  ,

             &a pour coordonnées 

   






Règles de calcul


       
       Si A et B sont deux points de l’espace de coordonnées
        respectives       et        dans un repère, alors


Le vecteur    a pour coordonnées:

 
  Le milieu de [AB] a pour coordonnées :




                                         Si le repère est orthonormé :

                                         



         Cours complémentaires :

? Repères de l’espace
? Droites et plans de l’espace
? Sections planes
? Translations et homothéties
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