Variation de fonctions et extremums
Cours maths seconde
Variation de fonctions et extremums : Fonctions croissantes ; fonctions décroissantes. Tableau de variations. Maximum et minimum. |
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Notations
Dans ce module :
ƒ désigne une fonction définie sur D
(D désigne donc le domaine de définition de la fonction ƒ)
I est un intervalle inclus dans D
Fonction croissante
Graphiquement, ƒ est croissante sur l’intervalle I signifie que sur I, la courbe représentative Cƒ monte.
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ƒ est croissante sur l’intervalle I signifie que pour tous nombres réels x1 et x2 :
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Autrement dit :
« une fonction croissante conserve l’ordre ».
Illustration :
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ƒ est croissante et on voit bien que : pour a inférieur à b, f(a) est inférieur à f(b).
Exemples
La fonction carrée (ƒ(x) = x²) est croissante sur [0 ; + ∞ [
.png)
Une fonction affine ƒ(x) = a x + b est croissante si a > 0
.png)
La fonction cube (ƒ(x) = x3)
est croissante sur ℜ
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Graphiquement, ƒ est décroissante sur l’intervalle I signifie que sur I la courbe représentative Cƒ descend.
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ƒ est décroissante sur l’intervalle I signifie que pour tous nombres réels x1 et x2 :
.png){kind=small}
Autrement dit :
« une fonction décroissante change l’ordre ».
Illustration :
.png)
ƒ est décroissante et on voit bien que : pour a inférieur à b, ƒ(a) est supérieur à ƒ(b).
Exemples
La fonction carrée (ƒ(x) = x²) est décroissante sur ]-∞ ; 0]
Une fonction affine ƒ(x) = a x + b est décroissante si a > 0
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La fonction inverse
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est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ] 0 ; + ∞[.png)
Sens de variation
Le sens de variation (croissant ou décroissant) d’une fonction est résumé dans son tableau de variations.
Exemple : On connaît une fonction ƒ définie sur [0 ; +∞[ par sa représentation graphique ci-dessous :
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Maximum
Le maximum M de ƒ est la plus grande des valeurs ƒ(x) pour x appartenant à D.
Sur le graphique, c’est l’ordonnée du point le plus haut situé sur la courbe.
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Le maximum de ƒ (s’il existe) est un nombre de la forme ƒ(a) avec a ∈ I tel que :
ƒ(x) ≤ ƒ(a) pour tout x de I.
Autrement dit :
« le maximum d’une fonction est la plus grande valeur atteinte par cette fonction ».
Exemples
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On connaît une fonction ƒ par
sa représentation graphique
sur l’intervalle [-2 ; 5].
Le maximum de ƒ est 6, il est
atteint pour x = 4.
Soit ƒ la fonction définie sur I = [0 ; + ∞[ par : ƒ(x) = 3 - √x
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ƒ(0) = 3 et pour tout x, ƒ(x) ≤ 3
Donc ƒ admet un maximum qui est 3, atteint en 0
Minimum
Le minimum m de ƒ est la plus petite des valeurs ƒ(x) pour x appartenant à D.
Sur le graphique, c’est l’ordonnée du point le plus bas situé sur la courbe.
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Le minimum de ƒ (s’il existe) est un nombre de la forme ƒ(a) avec a ∈ I tel que :
ƒ(x) ≥ ƒ(a) pour tout x de I.
Autrement dit :
« le minimum d’une fonction est la plus petite valeur atteinte par cette fonction ».
Exemples
.png)
On connaît une fonction ƒ par
sa représentation graphique
sur l’intervalle [-2 ; 5].
Le minimum de ƒ est -2, il est
atteint pour x = 1.
Soit f la fonction définie sur ℜ par : ƒ(x) = x² + 5
Pour tout x, x² ≥ 0
donc x² + 5 ≥ 0 + 5
donc ƒ(x) ≥ 5
Pour tout x, ƒ(0) = 5 et ƒ(x) ≥ ƒ(0)
donc ƒ atteint en 0 un minimum égal à 5.
Extremum
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Exemple : On connaît le tableau de variations d’une certaine fonction ƒ :
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Le maximum de ƒ est 1
Le minimum de ƒ est -8
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