Variable aléatoire

Cours maths 1ère S

Variable aléatoire :
Variable aléatoire
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Introduction

  Dans la plupart des phénomènes aléatoires, le résultat d’une épreuve peut se traduire par une grandeur mathématique, très souvent représentée par un nombre entier ou un nombre réel.
  La notion mathématique qui représente efficacement ce genre de situation concrète est celle de variable aléatoire.
  Le temps de désintégration d’un atome radioactif, le pourcentage de réponses « oui » à une question posée dans un sondage, le nombre d’enfants d’un couple sont des exemples de variables aléatoires.

Un peu d’histoire…

La notion de variable aléatoire est née en même temps que le calcul des probabilités sans toutefois être repérée comme telle. C’est au cours du XVIIIème siècle qu’ont été découvertes la plupart des propriétés d’une variable aléatoire.

Les origines de la notion d’espérance mathématique remontent au problème des parties de Pascal :


 



« Deux joueurs A et B jouent une partie en plusieurs coups ; à chaque coup, chaque joueur a la même probabilité de gagner. Le premier qui a gagné trois coups ramasse l’enjeu qui est de 64 pistoles, chaque joueur ayant misé 32 pistoles au début du jeu.
Soudain les joueurs aperçoivent la police et doivent interrompre le jeu avant la fin de la partie.
Comment faut-il partager l’enjeu ? »










Un peu d’histoire…


Supposons que le joueur A ait gagné deux coups et le joueur B un coup au moment où la police arrive.

Pour partager l’enjeu, on raisonnera ainsi : si le coup suivant était joué, A pourrait le gagner et empocherait donc les 64 pistoles.

Il pourrait aussi le perdre : A et B auraient alors gagné deux coups chacun et il serait légitime de partager l’enjeu de manière égale.

A peut donc espérer avec des chances égales gagner 64 pistoles ou 32. Donc 32 pistoles lui sont assurées et ce sont les 32 pistoles restantes qui sont le véritable enjeu du coup suivant. Il est légitime de les partager également entre A et B.

Donc finalement A va toucher 32 + 16 = 48 pistoles et B 16 pistoles.


Variable aléatoire


    
    Soit un univers et soit P une loi

                                       de probabilité sur  .  Une variable aléatoire X sur
  est une fonction de

                                      dans   .

                                      Une variable aléatoire X associe donc à chaque issue

                                      de
  un nombre réel.

                                      Soit l’ensemble des valeurs prises par
                                     
                                      la variable aléatoire X.

                                      L’évènement «X prend la valeur  » est noté «           ».

  




Exemple


          Une urne contient 15 boules indiscernables :

           7 boules vertes, 5 boules jaunes et 3 boules bleues.

                                                           On tire au hasard une boule dans l’urne.

                                                          On note les boules vertes, les boules jaunes, et les bleues.
            
                                                           L'univers   est l'ensemble:

                                                      
    



Exemple
   

  On définit une variable aléatoire X de la façon suivante :

   - Si la boule tirée est verte on gagne 3 points.

   - Si la boule tirée est jaune on gagne 1 point.

   - Si la boule tirée est bleue on perd 2 points.

La variable aléatoire est donc définie par :

 



Loi de probabilité d’une variable aléatoire



Loi de probabilité d’une variable aléatoire

      Soit un univers et soit P une loi de

probabilité  sur     .  Soit X une variable aléatoire sur
   et soient  {}    les valeurs prises par X.
    
                                         Pour tout la probabilité   est la probabilité  de l’ensemble des issues ayant pour image par X.

                                         La loi de probabilité de X est la fonction définie sur  {}, qui à chaque fait correspondre le nombre

                             
 






Loi de probabilité d’une variable aléatoire


Déterminer la loi de probabilité d’une variable
aléatoire X c’est :

      - préciser l’ensemble


      - calculer pour chaque la probabilité
           


La loi de probabilité d’une variable aléatoire est
souvent présentée dans un tableau.




Exemple



        Reprenons l’exemple précédent de l’urne contenant

         15 boules indiscernables (7 vertes, 5 jaunes et 3 bleues).

         On modélise cette expérience par une loi de probabilité

                                                        equirépartie car toutes les boules ont la même probabilité

                                                        d’être tirées.

                                                        Comme l’urne contient 15 boules, la probabilité de chaque
                                                        boule d’être tirée vaut    


Exemple

On a: 
  
avec :      pour 

              pour  

            pour




 

Exemple

De même
où B est l’évènement « tirer une boule jaune »,

d'où



Enfin,


où C est l’évènement « tirer une boule verte », d’où



Exemple



On a donc le tableau:


 

Remarque


   
                                       




Espérance mathématique


    Soit X une variable aléatoire, de loi de probabilité pour .

                              L’espérance mathématique  de X est le nombre réel E(X) noté aussi , défini par:
  
                              
           

Variance et écart type

     La variance de X est le nombre réel V(X)défini par
   
    
                             L’écart type de X est le nombre réel    défini par:

                            



Remarque

   L’expression « espérance mathématique » vient du langage des jeux.
                                                                                   Le jeu est favorable au joueur si son espérance est un nombre positif et défavorable si son espérance est un nombre négatif.
               Lorsque l’espérance est nulle, on dit que le jeu est équitable.




Exemple

        Reprenons l’exemple précédent de l’urne.
       Nous avons trouvé pour la loi de probabilité de la
       variable aléatoire :
 
                                           
                                                 
                                                   Calculons l’espérance mathématique de X :
                                   
                                                    




Exemple
             
                                         
      Comme l’espérance mathématique est un nombre positif, ce jeu de hasard est favorable au joueur.

     
                                     La variance de X vaut:

                                       

    
Exemple


      

                                              L’écart type de X vaut: 

                  






Propriété


      
La variance de X vaut:
 

                                         


Démonstration

    
On a, par définition de la variance
        
      
                                        
                                              En développant, on obtient :

                                              


Démonstration

       


Démonstration


       

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