Valeur absolue
Cours maths seconde
Valeur absolue : • Valeur absolue d’un réel • Distance entre deux points ou deux nombres • Equations et inéquations avec valeur absolue |
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Définition
La valeur absolue d’un nombre réel est égale à :
⇒ Ce nombre si celui-ci est positif.
⇒ L’opposé de ce nombre si celui-ci est négatif.
Notation :
La valeur absolue d’un nombre réel x est noté | x | .
Avec les notations mathématiques :
Exemples :
♦ | 3 | = 3 car 3 est positif.
♦ | - 5 | = - ( - 5) = 5 car - 5 est négatif.
♦ | - 0,241 | = - ( - 0,241) = 0,241 car - 0,241 est négatif.
♦ | π - 3 | = π - 3 car π - 3 est positif.
♦ | π - 5 | = - ( π - 5 ) = - π + 5 car π - 5 est négatif.
Premières propriétés et remarques
Propriétés :
♦ La valeur absolue d’un nombre réel est toujours positive.
♦ Pour tout nombre x réel, on a : | - x | = | x |
Remarques :
Sur la calculatrice, la valeur absolue s’obtient grâce à la touche « abs ».
La valeur absolue d’un entier est la valeur de cet entier sans le signe.
Théorème :
Soient A et B deux points d’une droite graduée d’abscisses respectives xA et xB.
Alors, la distance entre les points A et B est égale à :
Exemples :
CD = | xD – xC | = | 4 – 3 | = | 1 | = 1
AB = | xB – xA | = | –3 –1 | = | – 4 | = 4
BC = | xC – xB | = | 3 – (–3) | = | 6 | = 6
OB = | xB – xO | = | –3–0 | = | –3 | = 3
Distance entre deux nombres
Soient x et y des nombres réels :
La distance entre x et y notée d(x;y) est le nombre réel | y - x |.
Exemples :
La distance entre 4 et -3 est :
La distance entre -1 et 2 est :
Remarque : | x | est la distance entre x et O.
Equations de la forme | x - a | = b avec b positif ou nul
Méthode :
La résolution d’une équation du type | x - a | = b avec b positif ou nul se fait en trois étapes :
L’interprétation.
La réalisation d’un schéma.
L’écriture des solutions.
Remarque :
Si b est négatif alors l’équation | x - a | = b n’a aucune solution puisqu’une valeur absolue est toujours positive !
Exemple :
Résoudre dans
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l’équation | x - 2 | = 3 .Interprétation : | x - 2 | est la distance entre x et 2.
Résoudre | x - 2 | = 3 c’est chercher les réels x qui sont à une distance égale à 3 du réel 2.
Schéma :
Solutions : Les solutions de l’équation | x - 2 | = 3 sont -1 et 5.
Inéquations de la forme | x - a | inférieur ou égal à b avec b positif ou nul
Méthode :
La résolution d’une équation du type
se fait en trois étapes :L’interprétation.
La réalisation d’un schéma.
L’écriture des solutions.
Remarque :
Si
alors l’inéquation 
n’a aucune solution puisqu’une valeur absolue est toujours positive !Exemple :
Résoudre dans
l’inéquation 
.Interprétation : | x - 2 | est la distance entre x et 2.
Résoudre
c’est chercher les réels x dont la distance à 2 est inférieure ou égale à 3. Schéma :
Solutions : L'ensemble solution de l’inéquation
est l'intervalle 
. Cours complémentaires : |
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