Cours maths 1ère S

Trinôme du second degré

Trinôme du second degré

Voyage au cœur des volcans !

Le saviez-vous ?
Notre planète comporte de nombreux volcans. Une question longuement débattue a été de savoir à quelle distance d’un volcan les hommes pouvaient construire des habitations sans risque de recevoir des rochers en fusion lors d’éruption volcanique. Galilée au XVIIème siècle a établi la trajectoire parabolique des projectiles et la loi de chute des corps dans l’espace. Ainsi, il a pu établir une équation de la forme :    y = α x².

 

Trinôme du second degré

Définition

On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur ℝ pouvant se mettre sous la forme :


où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 1
L’expression    ax² + bx + c   est appelée trinôme du second degré.

Exemples

• Les expressions suivantes sont des trinômes du second degré :


• De même est un trinôme du second degré. En développant, on obtient :



• Par contre l’expression n’est pas un trinôme du second degré car

 

Racines d’un trinôme

Définition

On appelle racine d’un trinôme toute valeur de la variable x solution de l’équation

Exemples

– 4 et 1 sont deux racines du trinôme

En effet, posons

On a :

          = 0

 

Forme canonique d’un trinôme du second degré

Propriété et Définition

Pour tout trinôme du second degré (avec on peut trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre réel x, on ait :

L’écriture s’appelle la forme canonique du trinôme.

Démonstration

Transformons le trinôme .

On commence par mettre a en facteur, ce qui est possible puisque

Ensuite on écrit que est le début du développement de

Exemples

•

On a utilisé ici une identité remarquable.

est la forme canonique du trinôme

• Pour mettre le trinôme sous forme canonique,

- on commence par mettre le coefficient de x² en facteur dans l’expression

- ensuite on transforme en faisant apparaître le début d’une identité remarquable:

- On obtient alors :

On a donc la forme canonique

 

Courbe représentative

Nous venons de voir que toute fonction polynôme du second degré peut être mise sous forme canonique :

La fonction polynôme P étant exprimée sous cette forme, on peut construire sa courbe représentative à partir de celle de la fonction

Propriété

La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré P définie par est une parabole de sommet S de coordonnées (a , b) avec

Démonstration

On a

A partir de la parabole représentant la fonction dans un repère

on peut obtenir la courbe représentant la fonction par translation de vecteur colinéaire à

ensuite on obtient la courbe représentative de la fonction en multipliant point par point les ordonnées des points de la courbe précédente par a.

Si a > 0 , on obtient :

Si a

Enfin, on obtient la courbe représentative de la fonction P par translation de vecteur colinéaire à

Si a > 0

 

Sens de variation

Le sens de variation d’une fonction polynôme du second degré se déduit de celui de la fonction référence

• Cas où a > 0

• Cas où a

 

Résolution de l’équation du second degré

Considérons l’équation du second degré

Nous avons vu que le trinôme peut s’écrire sous forme canonique :

 

Résolution de l’équation du second degré

Posons .

Le nombre réel D s’appelle le discriminant du trinôme
On a donc

Trois cas sont possibles :

• Si Δ

n’a pas de solution car un carré est toujours positif ou nul

• Si Δ = 0, alors

L’équation a une solution

Si Δ > 0, comme .

Dans ce cas, on a

L’équation a deux solutions distinctes

Remarque

Pour résoudre une équation du second degré « incomplète », c’est-à-dire une équation dans laquelle il n’y a pas de terme en x ou de terme constant il n’est pas nécessaire d’utiliser les formules générales et le discriminant.
On sait résoudre ces équations directement.

Exemples

►Pour résoudre l’équation-on met x en facteur :

Les deux solutions de l’équation sont 0 et – 3.

►Pour résoudre l’équation

on utilise l’identité remarquable

On écrit :

d’où

Les deux solutions de l’équation sont et

Interprétation graphique

Selon que le trinôme possède 0, 1 ou 2 racines, la parabole qui le représente coupe ou non l’axe des abscisses.

Il y a six allures possibles pour la parabole d’équation suivant les signes de a et du discriminant    Δ = b2 - 4ac

 

Factorisation du trinôme ax² + bd + c

Théorème

Soit Δ = b² - 4ac le discriminant du trinôme

• Si Δ est positif ou nul, le trinôme se factorise de la façon suivante :

• Si Δ > 0, où x₁ et x₂ sont les deux racines du trinôme.

• Si Δ = 0,

Exemples

►

On vérifie que :

On a

et

Le trinôme Q a une seule racine

 

Signe d’un trinôme du second degré

Étudions le signe du trinôme

Soit Δ = b² - 4ac le discriminant de ce trinôme.

• Cas Δ > 0 : Soient x₁ et x₂ les deux racines du trinôme avec x₁

On a alors la factorisation :

Dressons un tableau de signes :

• Cas Δ = 0 : Alors on a la factorisation

Comme > 0 , P(x) est du signe de a.

• Cas Δ

Comme Δ est négatif, est positif et est positif.

est donc du même signe que a.

 

Inéquations du second dégré

Résoudre une inéquation du second degré, c’est-à-dire une inéquation comportant des termes où l’inconnue est au carré, se ramène après développement, réduction et transposition de tous les termes dans un même membre à l’étude du signe d’un trinôme.

Exemple

Résoudre l’inéquation

On commence par développer le produit et à réduire l’expression obtenue.

Ensuite on regroupe tous les termes dans un même membre de l’inégalité :

La résolution de l’inéquation

se ramène donc à l’étude du signe du trinôme

Calculons le discriminant de ce trinôme.

L’équation a donc deux racines distinctes :

On a donc

Cherchons le signe de en dressant le tableau de signes :