Trinôme du second degré
Cours maths 1ère S
Trinôme du second degré : Trinôme du second degré |
| ► Sommaire cours maths 1ère S A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions ► menu 600 VIDEOS |
Voyage au cœur des volcans !
Le saviez-vous ?
Notre planète comporte de nombreux volcans. Une question longuement débattue a été de savoir à quelle distance d’un volcan les hommes pouvaient construire des habitations sans risque de recevoir des rochers en fusion lors d’éruption volcanique. Galilée au XVIIème siècle a établi la trajectoire parabolique des projectiles et la loi de chute des corps dans l’espace. Ainsi, il a pu établir une équation de la forme : y = α x2.
Trinôme du second degré
Définition
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur
pouvant se mettre sous la forme :
où a, b et c sont des nombres réels et a
.png){kind=small}
1L’expression ax2+bx+c est appelée trinôme du second degré.
Exemples
• Les expressions suivantes sont des trinômes du second degré :
• De même
est un trinôme du second degré. En développant, on obtient :
• Par contre l’expression
n’est pas un trinôme du second degré car
Racines d’un trinôme
Définition
On appelle racine d’un trinôme
toute valeur de la variable x solution de l’équation 
Exemples
– 4 et 1 sont deux racines du trinôme
En effet, posons
On a :
= 0
Forme canonique d’un trinôme du second degré
Propriété et Définition
Pour tout trinôme du second degré
(avec 
on peut trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre réel x, on ait :
L’écriture
s’appelle la forme canonique du trinôme.
Démonstration
Transformons le trinôme
.On commence par mettre a en facteur, ce qui est possible puisque
Ensuite on écrit que
est le début du développement de 
Exemples
•
On a utilisé ici une identité remarquable.
est la forme canonique du trinôme 
• Pour mettre le trinôme
sous forme canonique,- on commence par mettre le coefficient de x² en facteur dans l’expression-
- ensuite on transforme
en faisant apparaître le début d’une identitéremarquable :
- On obtient alors :
On a donc la forme canonique
Courbe représentative
Nous venons de voir que toute fonction polynôme du second degré peut être mise sous forme canonique :
La fonction polynôme P étant exprimée sous cette forme, on peut construire sa courbe représentative à partir de celle de la fonction
Propriété
La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré P définie par
est une parabole de sommet S de coordonnées (a , b) avec
Démonstration
On a
A partir de la parabole représentant la fonction
dans un repère 
on peut obtenir la courbe représentant la fonction
par translation de vecteur colinéaire à 
en suite on obtient la courbe représentative de la fonction
en multipliant point par point les ordonnées des points de la courbe précédente par a.Si a > 0 , on obtient :
Si a < 0 , la courbe est "renversée" :
Si a < 0 , la courbe est "renversée" :
Enfin, on obtient la courbe représentative de la fonction P par translation de vecteur colinéaire à
Si a > 0
Sens de variation
Le sens de variation d’une fonction polynôme du second degré se déduit de celui de la fonction référence
• Cas où a > 0
• Cas où a < 0
Résolution de l’équation du second degré
Considérons l’équation du second degré
Nous avons vu que le trinôme
peut s’écrire sous forme canonique :
Résolution de l’équation du second degré
Posons
.Le nombre réel D s’appelle le discriminant du trinôme
On a donc
Trois cas sont possibles :
• Si Δ < 0, comme
n’a pas de solution car un carré est toujours positif ou nul
• Si Δ = 0, alors
L’équation
a une solution 
Si Δ > 0, comme
.-
Dans ce cas, on a
L’équation
a deux solutions distinctes
Remarque
Pour résoudre une équation du second degré « incomplète », c’est-à-dire une équation dans laquelle il n’y a pas de terme en x ou de terme constant il n’est pas nécessaire d’utiliser les formules générales et le discriminant.
On sait résoudre ces équations directement.
Exemples
►Pour résoudre l’équation-on
met x en facteur :
Les deux solutions de l’équation
sont 0 et – 3.►Pour résoudre l’équation-
on utilise l’identité remarquable
On écrit :
d’où
Les deux solutions de l’équation
sont 
et 
Interprétation graphique
Selon que le trinôme
possède 0, 1 ou 2 racines, la parabole qui le représente coupe ou non l’axe des abscisses.Il y a six allures possibles pour la parabole d’équation
suivant les signes de a et du discriminant Δ = b2 - 4ac 
Factorisation du trinôme ax2 + bd + c
Théorème
Soit Δ = b2 - 4ac le discriminant du trinôme
• Si Δ est positif ou nul, le trinôme se factorise de la façon suivante :
• Si Δ > 0,
où x1 et x2 sont les deux racines du trinôme.
• Si Δ = 0,
Exemples
►
On vérifie que :
►
On a
et
Le trinôme Q a une seule racine
Signe d’un trinôme du second degré
Étudions le signe du trinôme
Soit Δ = b2 - 4ac le discriminant de ce trinôme.
• Cas Δ > 0 : Soient x1 et x2 les deux racines du trinôme avec x1 < x2.
On a alors la factorisation :
Dressons un tableau de signes :
• Cas Δ = 0 : Alors on a la factorisation
Comme
> 0 , P(x)est du signe de a.• Cas Δ < 0 : On utilise la forme canonique du trinôme.
Comme Δ est négatif,
est positif et 
est positif.
est donc du même signe que a.Inéquations du second dégré
Résoudre une inéquation du second degré, c’est-à-dire une inéquation comportant des termes où l’inconnue est au carré, se ramène après développement, réduction et transposition de tous les termes dans un même membre à l’étude du signe d’un trinôme.
Exemple
Résoudre l’inéquation
On commence par développer le produit
et à réduire l’expression obtenue.
Ensuite on regroupe tous les termes dans un même membre de l’inégalité :
La résolution de l’inéquation
se ramène donc à l’étude du signe du trinôme
Calculons le discriminant de ce trinôme.
L’équation
a donc deux racines distinctes :
On a donc
Cherchons le signe de
en dressant le tableau de signes :
Cours complémentaires : |
| ► Sommaire cours maths 1ère S A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions |