Trinôme du second degré
Cours maths 1ère S
Trinôme du second degré : Trinôme du second degré |
► Sommaire cours maths 1ère S A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions ► menu 600 VIDEOS |
Voyage au cœur des volcans !

Le saviez-vous ?
Notre planète comporte de nombreux volcans. Une question longuement débattue a été de savoir à quelle distance d’un volcan les hommes pouvaient construire des habitations sans risque de recevoir des rochers en fusion lors d’éruption volcanique. Galilée au XVIIème siècle a établi la trajectoire parabolique des projectiles et la loi de chute des corps dans l’espace. Ainsi, il a pu établir une équation de la forme : y = α x2.
Trinôme du second degré
Définition
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur


où a, b et c sont des nombres réels et a
.png)
L’expression ax2+bx+c est appelée trinôme du second degré.
Exemples
• Les expressions suivantes sont des trinômes du second degré :

• De même


• Par contre l’expression


Racines d’un trinôme
Définition
On appelle racine d’un trinôme


Exemples
– 4 et 1 sont deux racines du trinôme

En effet, posons

On a :

= 0
Forme canonique d’un trinôme du second degré
Propriété et Définition
Pour tout trinôme du second degré



L’écriture

Démonstration
Transformons le trinôme

On commence par mettre a en facteur, ce qui est possible puisque


Ensuite on écrit que



Exemples
•

On a utilisé ici une identité remarquable.


• Pour mettre le trinôme

- on commence par mettre le coefficient de x² en facteur dans l’expression-


- ensuite on transforme

remarquable :

- On obtient alors :

On a donc la forme canonique

Courbe représentative
Nous venons de voir que toute fonction polynôme du second degré peut être mise sous forme canonique :

La fonction polynôme P étant exprimée sous cette forme, on peut construire sa courbe représentative à partir de celle de la fonction

Propriété
La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré P définie par


Démonstration
On a

A partir de la parabole représentant la fonction



on peut obtenir la courbe représentant la fonction



en suite on obtient la courbe représentative de la fonction

Si a > 0 , on obtient :
Si a < 0 , la courbe est "renversée" :

Si a < 0 , la courbe est "renversée" :

Enfin, on obtient la courbe représentative de la fonction P par translation de vecteur colinéaire à

Si a > 0


Sens de variation
Le sens de variation d’une fonction polynôme du second degré se déduit de celui de la fonction référence

• Cas où a > 0

• Cas où a < 0

Résolution de l’équation du second degré
Considérons l’équation du second degré

Nous avons vu que le trinôme


Résolution de l’équation du second degré
Posons

Le nombre réel D s’appelle le discriminant du trinôme

On a donc

Trois cas sont possibles :

• Si Δ < 0, comme

n’a pas de solution car un carré est toujours positif ou nul
• Si Δ = 0, alors

L’équation


Si Δ > 0, comme

-
Dans ce cas, on a

L’équation


Remarque
Pour résoudre une équation du second degré « incomplète », c’est-à-dire une équation dans laquelle il n’y a pas de terme en x ou de terme constant il n’est pas nécessaire d’utiliser les formules générales et le discriminant.
On sait résoudre ces équations directement.
Exemples
►Pour résoudre l’équation-on

met x en facteur :

Les deux solutions de l’équation

►Pour résoudre l’équation-

on utilise l’identité remarquable

On écrit :

d’où

Les deux solutions de l’équation



Interprétation graphique
Selon que le trinôme

Il y a six allures possibles pour la parabole d’équation



Factorisation du trinôme ax2 + bd + c
Théorème
Soit Δ = b2 - 4ac le discriminant du trinôme

• Si Δ est positif ou nul, le trinôme se factorise de la façon suivante :
• Si Δ > 0,

deux racines du trinôme.
• Si Δ = 0,

Exemples
►


On vérifie que :

►

On a

et

Le trinôme Q a une seule racine

Signe d’un trinôme du second degré
Étudions le signe du trinôme

Soit Δ = b2 - 4ac le discriminant de ce trinôme.
• Cas Δ > 0 : Soient x1 et x2 les deux racines du trinôme avec x1 < x2.
On a alors la factorisation :

Dressons un tableau de signes :

• Cas Δ = 0 : Alors on a la factorisation

Comme

• Cas Δ < 0 : On utilise la forme canonique du trinôme.

Comme Δ est négatif,



Inéquations du second dégré
Résoudre une inéquation du second degré, c’est-à-dire une inéquation comportant des termes où l’inconnue est au carré, se ramène après développement, réduction et transposition de tous les termes dans un même membre à l’étude du signe d’un trinôme.
Exemple
Résoudre l’inéquation

On commence par développer le produit


Ensuite on regroupe tous les termes dans un même membre de l’inégalité :

La résolution de l’inéquation

se ramène donc à l’étude du signe du trinôme

Calculons le discriminant de ce trinôme.

L’équation


On a donc

Cherchons le signe de



Cours complémentaires : |
► Sommaire cours maths 1ère S A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions |