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Cours maths 3ème

Triangle rectangle - propriétés

Ce cours a pour objectifs de travailler sur la propriété de Pythagore, sa réciproque et les triangles inscrits dans des demi-cercles. Des rappels sur les triangles seront faits en activité. Ce cours permet de consolider et d’approfondir des notions vues en 4ème et peut être suivi dès le début de l’année.

Avant de commencer …

Comment démontrer que les droites (RO) et (RE) sont perpendiculaires?

On sait que : ROA est un triangle isocèle en R
Or : si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux
Donc : RÔA = RÂO = 55°

On sait que : dans le triangle ROE, RÔE = 55° et RÊO = 35°
Or : dans tous les triangles, la somme des mesures des trois angles vaut 180°
Donc : ORE = 180 – (55 + 35) = 180 – 90 = 90°.

Conclusion :
Les droites (RO) et (RE) sont perpendiculaires.

 

Théorème de Pythagore

Enoncé de la propriété :

Si un triangle est rectangle
Alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés.

A quoi sert cette propriété ?

Cette propriété sert à calculer une longueur dans un triangle rectangle.

Exemple :

On sait que ABC est un triangle rectangle en A.

D’après le théorème de Pythagore, on a :
BC² = AC² + AB²

 

Applications du théorème de Pythagore :

Dans chacun des cas suivants, appliquer le théorème de Pythagore :

On sait que DEF est un triangle rectangle en D.
D’après le théorème de Pythagore, on a :
EF² = DE² + DF²

On sait que MNP est un triangle rectangle en N.
D’après le théorème de Pythagore, on a :
MP² = MN² + NP²

 

Réciproque du théorème de Pythagore

Enoncé de la réciproque :
 
Dans un triangle,
Si le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
Alors le triangle est rectangle
 
A quoi sert cette propriété ?
 
Cette propriété sert à montrer qu’ un triangle est rectangle.
 
Exemple : Montrer que ABC est un triangle rectangle.

On choisit le plus long côté : [AC]

AC² = 5² = 25
AB² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
AC² = AB² + BC²

Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

 

Triangle inscrit dans un cercle

Propriété :

Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un des côtés du triangle est un diamètre du cercle

A quoi sert cette propriété ?

Cette propriété sert à montrer qu’ un triangle est rectangle.

Exemple : Montrer que ABC est un triangle rectangle.

On sait que :
ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AB].

Or :
Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un des côtés du triangle est un diamètre du cercle, alors le triangle est rectangle.

Donc :
ABC est un triangle rectangle en C.