Translations et homothéties

Cours maths 1ère S

Translations et homothéties :
Translations et homothéties
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Translations
 
Soit      un vecteur du plan ou de l’espace.
La translation du vecteur
, notée  , est l’application qui à tout point M du plan
ou de l’espace  associe le point M’ tel que






                     
 
 
Remarques

 
 - La translation de vecteur nul est l’application identique, c’est-à-dire l’application qu’à tout point
M associe le point M lui-même.
    Autrement dit, si , tout point M est invariant par la translation   :
                                     
   
     - Si  , la translation
  de vecteur n’a aucun vecteur invariant. 

 
 
Notion de transformation
 
Quelques points importants à retenir :
 

La transformation qui à chaque point M du plan ou de l’espace associe un unique point M’ du plan ou de l’espace est une application du plan dans lui même ou de l’espace dans lui même.
      
       M’ est l’image de M par

Réciproquement, tout point M’ du plan ou de l’espace est l’image  d’un unique point M.
Une telle application du plan dans lui-même ou de l’espace dans lui-même assurant
cette correspondance « un à un » est appelée une transformation.
 
 
Notion de transformation réciproque
 
 La transformation réciproque d’une transformation

                               

est  la transformation qui au point  associe le point M.
La transformation réciproque de la translation
de vecteur est la translation  de vecteur  .


                               


 
 
Propriété fondamentale de la translation

Propriété


Si A’ et B’ sont les images respectives des points A et B par une translation, alors
                          
                               


Démonstration


Soient A et B deux points du plan ou de l’espace et soient A’ et B’ leurs images respectives par la translation de vecteur
:


                                      et 
            

Alors on a

                           et  


 d’où 


On en déduit que AA’B’B est un Parallélogramme d’où

                


On aurait pu écrire en utilisant la relation de Chasles :


                



           
                 


Translation et longueurs, aires et volumes

Propriété

Une translation du plan ou de l’espace conserve les longueurs ou les aires.
Une translation de l’espace conserve les volumes.

On dit qu’une translation est une isométrie.
Elle transforme  un triangle en un triangle isométrique et  plus généralement une figure isométrique

                             

Homothétie


Définition

Soit    un point quelconque du plan ou de l’espace  et soit k un nombre réel non nul   .

On appelle homothétie de centre  et de rapport k et on note  la transformation qui à pour tout point  M du plan ou de l’espace associe le point M’.

tel que



Exemple
 

     


Remarques

       - Si   , alors, pour tout point M, on a  donc  M’=M

Tout point du plan ou de l’espace est invariant et l’homothétie  est l’application identique.
      - Si  , le centre
de l’homothétie est le seul point invariant.
      - Si   , l’homothétie   est la symétrie de centre 
    


                              
                        





Une première propriété des homothéties 

Propriété

→ un point et son image par une homothétie sont alignés avec le centre de l’homothétie.

 → si   sont trois points alignés, distincts deux à deux,  il existe une homothétie, et une seule, de centre    et qui transforme  en  
                                                              



Démonstration

→Soit    un point et soit   son image par l’homothétie de centre
     et de rapport
 
Alors on a     
                          

donc les vecteurs    et    sont colinéaires  et ont la même origine 
  donc les trois points , et sont alignés.

 →Soit
et   trois points alignés et distincts deux à deux .
Alors les vecteurs     et    sont colinéaires et il existe un unique nombre réel   tel que

        

→Soit  l’homothétie de centre
et de rapport L’homothétie     transforme   en
ce qui prouve l’existence.

Supposons qu’une homothétie   de centre
et de rapport       transforme en

Alors on a
                      
                          
et comme

on en déduit que

L’homothétie
  est donc l’homothétie , ce qui prouve l’unicité.


 Propriété fondamentale

Propriété

Si  A’ et B’ sont les images respectives de A et B par une homothétie de rapport   , alors on a


                                   






Démonstration
 


On a      et   

On en déduit, en utilisant la relation de Chasles,






Homothétie et longueurs, aires et volumes

Propriété

Une homothétie de rapport 
multiplie les longueurs par   , l’aire  par  et le volume par    


Démonstration

Si   et   sont les images respectives de  et   par une homothétie de rapport
, alors on a , d’après la propriété fondamentale,

                                

d’où   


et les longueurs sont donc multipliées par
.

On admet que l’on peut en déduire que  les aires sont multipliées par
et les volumes par   
 


Translation, homothétie et alignement


Propriété

Une translation et une homothétie conservent l’alignement.

Autrement dit, les images par une translation ou une homothétie de points alignés sont des points alignés.


Démonstration


Soient A
, B et C  trois points alignés  et   deux à deux distincts  et  soient    A', B'  et  C’  leurs images respectives par la transformation     
                               

Comme   A, B et C sont alignés, il existe un nombre réel 
tel que



Démonstration

 
→Si     est une translation, on a ,

                                   et 

       On en déduit


       c’est-à-dire


      donc  les vecteurs    et    sont colinéaires   
      et les points A' , B'  et   C’  sont alignés . 

→Si 
  est une homothétie de rapport , alors on a

                              et 

      d’où

                      


      c’est-à-dire


donc  les vecteurs
  et  sont colinéaires et les points A' , B' et   C’  sont alignés . 


Translation, homothétie et barycentre

Propriété

Une translation et une homothétie conservent le barycentre.

Autrement dit, si G est le barycentre de  (A , a)  et (B , b) , alors  l’image G’ de G par une translation ou une homothétie est le barycentre de  (A' ,a) et  (B' , b)  où  A'  et  B'   sont les images respectives de  A  et  de B.


Démonstration

Soient  (A , a)  et (B , b) deux points pondérés avec   et soit G le barycentre de  (A , a)   et (B , b)

Soient    A' ,  B'  et  G’ les images respectives de   A , B  et  G par la transformation

Comme G est barycentre de  (A , a)  et   (B , b) , on a    
 →Si 
est une translation, alors 
                                          
                                et  

donc 


→Si
est une homothétie de rapport , alors

                      et 
   
     d’où

                
                
On a donc, dans les deux cas,

                         


avec 

On en déduit que  G’ est le barycentre de (A' ,a)  et de (B' , b).



Remarque

En particulier une translation ou une homothétie conserve le milieu:
Si est le milieu de [AB] , son image    est le milieu de [AB].

• Cette propriété de conservation du barycentre s’étend au barycentre de trois points ou plus.




Translations, homothéties et angles

Propriété

Une translation et une homothétie conservent les angles géométriques et, dans le plan orienté, elles conservent les angles orientés.
Autrement dit, si A, B et C sont trois points deux à deux distincts et si A’, B’ et C’ sont leurs images respectives par une translation ou une homothétie, alors on a



                 
  et

              






Démonstration

Soient A , B  et C trois points deux à deux distincts  et  soient  A' , B' et  C’  leurs images respectives par la transformation
.

 →Si 
est une translation, alors 
                                          
                          
     et  

donc 


et       


 →Si
est une homothétie de rapport  , alors                                         
                    
    et  

      d’où 

     
   Or    ( car )

       d’après la propriété des angles orientés,

        d’où

         et    


Image d’une droite ou d’un segment



Propriété

Soient A  et B  deux points distincts  et  soient A'   et B'  leurs images respectives par la translation ou une homothétie.

  ♦ L’image de la droite (A B)  est la droite  (A’ B’) , elle est parallèle à la droite  (A B).

  ♦ L’image du segment  [A B]  est le segment  [A’ B’].






Démonstration

La droite (AB)  est l’ensemble des points M  tels que

                        lorsque   décrit 
     
Alors  si    A' , B'  et  C'  sont les images respectives de      
A , B  et  C  par la transformation
( où  est une translation ou une homothétie ), on a 


En effet,
 
  Si
est une translation, alors
 
                       et 
 
  Si
est une homothétie de rapport , alors

                      et 


Lorsque   M  décrit la droite  (A B),
décrit et le point  M’ décrit la droite  ( A’ B’) .

La droite (A B)  a donc pour image la droite (A’ B’) .

De plus, on a

                 
  si est une translation
et 
 
            
  si est une homothétie.

Dans les deux cas, les vecteurs  
   et   sont colinéaires, donc les droites   (AB)  et  (A'B')  sont parallèles.                                   

Le segment  [AB]  est l’ensemble des points M tels que

                                    avec       
     
On a 
 
Donc lorsque  M décrit le segment [A B] ,
décrit  [ 0, 1]  et  M’ décrit le segment   [ A’ B’] .

Le segment [A B]  a donc pour image le segment  [ A’ B’] .


Image d’un cercle par une translation












Image d’un cercle par une homothétie

 
Propriété

Une homothétie de rapport
transforme le cercle  C  de centre O et de rayon  R  ( R>0 ) en un cercle  C’ de centre O’ image de O  et de rayon R.

Dans l’espace, le cercle C’ est contenu dans le plan passant par  O’  et parallèle  au plan contenant  C.


Image d’un cercle par une translation








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         Cours complémentaires :

► Vecteurs de l’espace
► Repères de l’espace
► Droites et plans de l’espace
► Sections planes
► Sommaire cours maths 1ère S

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