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Cours maths 3ème

Systèmes et problèmes

Ce cours a pour but de travailler sur les test de solutions de systèmes et l’utilisation de systèmes pour résoudre des problèmes.

 

Introduction aux systèmes d'équations

Définition :

Le système suivant est un système de 2 équations à 2 inconnues :

Résoudre un système, c’est trouver le couple solution de ce système.
Ce couple (x ; y) vérifie les 2 équations en même temps.

 

 

Etre ou ne pas être solution

Exemple 1 : Le couple (-2 ; 1) est-il solution des systèmes suivants ?

3×(-2) + 2×1 = -6 + 2 = -4
-2 + 1 = -1

Les deux équations sont vérifiées par le couple (-2 ; 1).

Donc le couple (-2 ; 1) est solution du système.

 

 

 


5×(-2) – 2×1 = -10 – 2 = -12
4×(-2) + 6×1 = -8 + 6 = -2

2 ≠ 2 donc la 2ème  équation n’est pas vérifiée par le couple (-2 ; 1).

Donc le couple (-2 ; 1) n’est pas solution du système.

 

 

Méthode de substitution

Méthode de substitution

On utilise de préférence la méthode de substitution lorsque l’une des inconnues a pour coefficient 1 ou -1.

Exemple : Pour le système

Méthode de substitution : exemple

1) On exprime l’une des inconnues en fonction de l’autre dans l’une des équations.

2) On remplace l’inconnue dans l’autre équation.
Elle devient une équation du 1er degré à une seule inconnue.

3) On résout la nouvelle équation :

 

 

 

4) On remplace l’inconnue « connue » dans la 1ère équation puis on calcule

5) On conclut : Le couple solution est (2 ; 5).

 

 

Méthode de combinaison

On utilise, de préférence, la méthode de combinaison dans tous les autres cas

 

Exemple : Pour le système

 

Méthode de combinaison et exemple

1) On multiplie chaque équation par un nombre afin que les coefficients de x (ou de y) soient les mêmes.

 

2) On ajoute ou on soustrait terme à terme les 2 équations pour éliminer y.

3) On obtient une équation du 1er degré à 1 inconnue que l’on résout :

4) On remplace l’inconnue « connue » dans la 1ère équation puis on calcule

 

5) On conclut : Le couple solution est