Educastream, organisme spécialisé dans le soutien scolaire par visioconférence

Cours maths 3ème

Systèmes et méthodes de résolution

Ce cours a pour objectifs de travailler sur la résolution de systèmes : résolution graphique et résolution par le calcul. Les méthodes de substitution et de combinaison seront travaillées.

 

Introduction aux systèmes d'équations

Définition :

Le système suivant est un système de 2 équations à 2 inconnues :

Résoudre un système, c’est trouver le couple solution de ce système.
Ce couple (x ; y) vérifie les 2 équations en même temps.

 

 

Systèmes et résolution graphique

L’ensemble des solutions de chaque équation est représenté par une droite. Le couple solution du système correspond aux coordonnées du point d’intersection des 2 droites.

 

Exemple : Pour le système

La représentation graphique de 3x – y = 1 est une droite

 

3 × 0 – y = 1
-y = 1
Donc si x = 0 alors y = -1

3 – y = 1
3 – 1 = y
Donc si x = 1 alors y = 2

La représentation graphique de 2x + 3y = 19 est une droite.

 

-2 + 3y = 19
3y = 19 + 2 = 21
y = 21÷3 = 7

2x + 3 = 19
2x = 19 – 3 = 16
x = 16÷2 = 8

 

Nous allons représenter graphiquement les deux droites :

 

Le système semble avoir pour solution (+2 ; +5).

Méthode de substitution

On utilise de préférence la méthode de substitution lorsque l’une des inconnues a pour coefficient 1 ou -1.

Exemple : Pour le système

Méthode de substitution : exemple

1) On exprime l’une des inconnues en fonction de l’autre dans l’une des équations.

2) On remplace l’inconnue dans l’autre équation.
Elle devient une équation du 1er degré à une seule inconnue.

3) On résout la nouvelle équation :

 

 

 

4) On remplace l’inconnue « connue » dans la 1ère équation puis on calcule

5) On conclut : Le couple solution est (2 ; 5).

 

 

Méthode de combinaison

On utilise, de préférence, la méthode de combinaison dans tous les autres cas

 

Exemple : Pour le système

 

Méthode de combinaison et exemple

1) On multiplie chaque équation par un nombre afin que les coefficients de x (ou de y) soient les mêmes.

 

2) On ajoute ou on soustrait terme à terme les 2 équations pour éliminer y.

3) On obtient une équation du 1er degré à 1 inconnue que l’on résout :

4) On remplace l’inconnue « connue » dans la 1ère équation puis on calcule

 

5) On conclut : Le couple solution est