Suites - introduction

Cours maths 1ère S

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Les suites



Avec le réchauffement de la planète, les barrières de corail ont tendance à diminuer. De ce fait tous les animaux vivants dans cet écosystème voient leur population réduite. Des études ont montré que cette diminution pouvait atteindre 2% par an selon les différents sites. Grâce aux suites, on peut définir une population de départ p0 et estimer cette population pour les années à venir: pn . Ainsi on peut anticiper les conséquences du réchauffement et trouver des solutions pour préserver les poissons tropicaux!


Notion intuituve de suite


Intuitivement, une suite réelle est une « succession », une liste infinie de nombres réels.

Par exemple, on définit une suite en se donnant la liste :

0, 2, 4, 6, 8, 10, …


de tous les nombres entiers multiples de deux rangés dans l’ordre croissant.

On note les termes d’une suite en utilisant une notation indicielle :

U0 = 0, U1 = 2, U5, ......, Un-1, Un, Un+1,........

U
0 est le premier terme de la duite, U1 est le deuxième terme,... et on appelle Un le terme général de la suite.

Exemple :


Si on reprent la suite : 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...

Alors on a

U0 = 0, U1 = 2; U2 = 4,
U3 = 6, U4 = 8, U5 = 10 et Un = 2n

(uo = 0 = 2 x 0, u1 = 2 = 2 x 1, u2 = 4 = 2 x 2, ...)


Définition d'une suite


On appelle suite réelle ou suite numérique toute fonction u de l'ensemble IN des entiers naturels dans R.

u : IN → R
n u(n)
 
Notation :

Si u est une suite réelle, on note un l'image de n par u au lieu de u(n).

u0 = u(0) est l'image de 0 par la suite u.

La suite u est notée (un) ou  ou .


Remarque


1) Parfois la suite n'est définie qu'à partir d'un certain rang, par exemple à partir de 1.

La suite est alors notée ou ou N* = N \ {0}.

Si la suite est définie à partir de n=2, alors on note  etc...

  • Attention !


2) Ne pas confondre la suite (un) qui est une fonction avec son terme général un qui est un nombre réel.





Représentation graphique d'une suite


Reprenons l’exemple de la suite
de tous les nombres pairs rangés dans l’ordre croissant.

On peut représenter cette suite de deux manières :

  • Sur la droite réelle

Il suffit de placer les points u0, u1, u2,... sur la droite réelle.


  • Dans le plan

Le plan est rapporté à un repère (O, i, j).

La représentation graphique d’une suite (un) dans le plan est l’ensemble des points de coordonnées (n, un).



Modes de génération d'une suite


Nous allons voir que les suites peuvent être définies de différentes façons.

  • Suites définies par une formule explicite


On peut définir une suite par une formule explicite qui permet de calculer directement à partir de n le terme d’indice n de la suite, comme  pour une fonction f de R dans R qui est donnée par l’expression de ƒ(x) en fonction de x.



Exemples


Soit  la suite définie par tout

Cela signifie que la suite u est la fonction


On a donc
u0 = u(0) = 2 x 0 = 0
u1 = u(1) = 2 x 1 = 2
u2 = u(2) = 2 x 2 = 4
..................................
Soit  la suite définie par :

pour tout

Alors, on a
v0 = v(0) = 5 x 0 + 1 = 1
v1 = v(1) = 5 x 1² + 1 = 6
v2 = v(2) = 5 x 2² + 1 = 21
..................................


Remarque


Dans ce cas, on peut calculer directement n’importe quel terme de la suite.

Si l’on reprend les deux exemples précédents, on a, par exemple,




Cas particulier important


Soit f une fonction définie sur une partie D de R telle que

On définit alors une suite  en posant, pour tout entier naturel n,

On dispose alors, à partir de la courbe représentative de la fonction f, d’une représentation graphique de la suite .

Sur l’axe des ordonnées, on peut lire les valeurs de u0, u1, u2, ....



Suites définies par une relation de récurrence


Définition :

Si une suite est définie par son premier terme et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du terme précédent, on dit que la suite est définie par récurrence et la relation est appelée relation de récurrence.




Exemple


Soit
la suite définie sur IN par :

u0 = 2 et, pour tout

Connaissant u0 la relation

permet, en remplaçant n par 0, de calculer u1 :

u1 = 3u0 - 2 = 3 x 2 - 2 = 4

puis, connaissant u1 = 4, on calcule u2 :

u2 = 3u2 - 2 = 3 x 4 - 2 = 10

et on recommence

u3 = 3u2 - 2 = 3 x 10 - 2 = 28

On peut ainsi, de proche en proche, calculer tous les temres de la suite.


Remarques


1) Une relation de récurrence permet de calculer tous les termes de la suite pas à pas, à condition de connaître la première valeur u0.

Cependant, si on veut calculer u200, il faut au préalable calculer u1, u2, u3, ......, u198 et u199.

2) La relation de récurrence a été écrite avec les termes un et un+1 de la suite. On aurait pu aussi l’écrire de la façon suivante :

pour tout n ≥ 1, un = 3un-1 - 2

La relation de récurrence que nous venons de voir ne fait intervenir que deux termes de la suite : un et un+1

Il existe des relations de récurrence qui font intervenir plusieurs termes consécutifs de la suite.

Par exemple, la relation de récurrence, pour tout n ≥ 1,

un+1 = 2un - un-1

permet de définir une suite avec la donnée des deux premiers termes de la suite u0 et u1.

Si on pose u0 = 1 et u1 = 3 , alors

u2 = 2u1 - u0 = 2 x 3 - 1 = 5
u3 = 2u2 - u1 = 2 x 5 - 2 = 8

  • Attention !

La donnée de la seule relation de réccurrence ne suffit pas à determiner la suite. Il est indispensable de connaître la ou les valeurs initiales u0 ou u0 et u1, ........

Dans l'exemple ci-dessus, avec la mention de récurrence

un+1 = 2un - un-1

Si on prend u0 = 1 et u1 = 1, on obtient la suite constante égale à 1.

u2 = 2u1 - u0 = 2 x 1 - 1 = 1
u3 = 2u2 - u1 = 2 x 1 - 1 = 1

Et si on prend u0 = 1 et u2 = 2 on obtient la suite des entiers naturels non nuls :

u2 = 2u1 - u0 = 2 x 2 - 1 = 3
u3 = 2u2 - u1 = 2 x 3 - 2 = 4


Sens de variation d'une suite





Remarques


1) Si pour tout entier naturel , on a un = un+b, on dit que la suite
est constante ou stationnaire.

2) S’il existe un entier naturel p tel que l’on ait un ≤ un+1 pour tout nombre entier n ≥ p , on dit que la suite est croissante à partir du rang p.

On définit de même une suite décroissante ou stationnaire à partir d’un certain rang.

3) Il existe des suites qui ne sont ni croissantes ni décroissantes.   


Exemple


La suite
définie par :

pour tout n'est ni croissante, ni décroissante.




Monotonie stricte





Etude du sens de variation : méthode


Comment faire dans la pratique pour étudier le sens de variation d’une suite ?
On dispose de trois méthodes.

  • Méthode 1 : cas d’une suite du type un = ƒ(n)

Lorsque la suite
est de la forme un = ƒ(n)ƒ est une fonction de R dans R, la connaissance du sens de variation de la fonction ƒ sur l’intervalle  donne, dans des cas simples, le sens de variation de la suite.
 
Par exemple, si
ƒ est croissante sur alors, pour tout
donc  et la suite est croissante.


Méthode 2 : méthode de la différence


  • Méthode 2 : méthode de la différence

On calcule et on étudie le signe de


Propriété :

Si pour tout entier n, la différence est de signe constant, alors la suite est  monotone.
- Si un+1 - un ≥ 0, la suite
est croissante
- Si
un+1 - un ≤ 0, la suite est décroissante


Exemple





Remarque





Méthode 3 : méthode du quotient


  • Méthode 3 : méthode du quotient

Soit
une suite telle que, pour tout
On calcule le quotient et on le compare à 1.
Propriété :

Soit
une suite telle que, pour tout

- Si pour tout , alors la suite est croissante.

- Si pour tout , , alors la suite
est décroissante.


Exemple





Remarque


On a un résultat analogue pour les suites
telles que pour tout


Suites bornées


Définition :

- Une suite
est majorée s'il existe un nombre réel M tel que, pour tout entier naturel n, on ait un ≤ M.
- Une suite
est minorée s'il existe un nombre réel m tel que, pour tout entier naturel n, on ait unm.
- Une suite
est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.


Exemples





 


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