Suites - introduction
Cours maths 1ère S
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Les suites
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Avec le réchauffement de la planète, les barrières de corail ont tendance à diminuer. De ce fait tous les animaux vivants dans cet écosystème voient leur population réduite. Des études ont montré que cette diminution pouvait atteindre 2% par an selon les différents sites. Grâce aux suites, on peut définir une population de départ p0 et estimer cette population pour les années à venir: pn . Ainsi on peut anticiper les conséquences du réchauffement et trouver des solutions pour préserver les poissons tropicaux!
Notion intuituve de suite
Intuitivement, une suite réelle est une « succession », une liste infinie de nombres réels.
Par exemple, on définit une suite en se donnant la liste :
0, 2, 4, 6, 8, 10, …
de tous les nombres entiers multiples de deux rangés dans l’ordre croissant.
On note les termes d’une suite en utilisant une notation indicielle :
U0 = 0, U1 = 2, U5, ......, Un-1, Un, Un+1,........
U0 est le premier terme de la duite, U1 est le deuxième terme,... et on appelle Un le terme général de la suite.
Exemple :
Si on reprent la suite : 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...
Alors on a
U0 = 0, U1 = 2; U2 = 4, U3 = 6, U4 = 8, U5 = 10 et Un = 2n
(uo = 0 = 2 x 0, u1 = 2 = 2 x 1, u2 = 4 = 2 x 2, ...)
Définition d'une suite
On appelle suite réelle ou suite numérique toute fonction u de l'ensemble IN des entiers naturels dans R.
u : IN → R
n → u(n)
n → u(n)
Notation :
Si u est une suite réelle, on note un l'image de n par u au lieu de u(n).
u0 = u(0) est l'image de 0 par la suite u.
La suite u est notée (un) ou
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Remarque
1) Parfois la suite n'est définie qu'à partir d'un certain rang, par exemple à partir de 1.
La suite est alors notée
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Si la suite est définie à partir de n=2, alors on note
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- Attention !
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2) Ne pas confondre la suite (un) qui est une fonction avec son terme général un qui est un nombre réel.
Représentation graphique d'une suite
Reprenons l’exemple de la suite
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On peut représenter cette suite de deux manières :
- Sur la droite réelle
Il suffit de placer les points u0, u1, u2,... sur la droite réelle.
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- Dans le plan
Le plan est rapporté à un repère (O, i, j).
La représentation graphique d’une suite (un) dans le plan est l’ensemble des points de coordonnées (n, un).
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Modes de génération d'une suite
Nous allons voir que les suites peuvent être définies de différentes façons.
- Suites définies par une formule explicite
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On peut définir une suite par une formule explicite qui permet de calculer directement à partir de n le terme d’indice n de la suite, comme pour une fonction f de R dans R qui est donnée par l’expression de ƒ(x) en fonction de x.
Exemples
Soit
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Cela signifie que la suite u est la fonction
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On a donc
u0 = u(0) = 2 x 0 = 0
u1 = u(1) = 2 x 1 = 2
u2 = u(2) = 2 x 2 = 4
..................................
u1 = u(1) = 2 x 1 = 2
u2 = u(2) = 2 x 2 = 4
..................................
Soit
la suite définie par :
pour tout.png)
Alors, on a
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pour tout
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Alors, on a
v0 = v(0) = 5 x 0 + 1 = 1
v1 = v(1) = 5 x 1² + 1 = 6
v2 = v(2) = 5 x 2² + 1 = 21
..................................
v1 = v(1) = 5 x 1² + 1 = 6
v2 = v(2) = 5 x 2² + 1 = 21
..................................
Remarque
Dans ce cas, on peut calculer directement n’importe quel terme de la suite.
Si l’on reprend les deux exemples précédents, on a, par exemple,
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Cas particulier important
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On définit alors une suite
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On dispose alors, à partir de la courbe représentative de la fonction f, d’une représentation graphique de la suite
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Sur l’axe des ordonnées, on peut lire les valeurs de u0, u1, u2, ....
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Suites définies par une relation de récurrence
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Si une suite est définie par son premier terme et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du terme précédent, on dit que la suite est définie par récurrence et la relation est appelée relation de récurrence.
Exemple
Soit
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u0 = 2 et, pour tout
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Connaissant u0 la relation
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u1 = 3u0 - 2 = 3 x 2 - 2 = 4
puis, connaissant u1 = 4, on calcule u2 :
u2 = 3u2 - 2 = 3 x 4 - 2 = 10
et on recommence
u3 = 3u2 - 2 = 3 x 10 - 2 = 28
On peut ainsi, de proche en proche, calculer tous les temres de la suite.
Remarques
1) Une relation de récurrence permet de calculer tous les termes de la suite pas à pas, à condition de connaître la première valeur u0.
Cependant, si on veut calculer u200, il faut au préalable calculer u1, u2, u3, ......, u198 et u199.
2) La relation de récurrence a été écrite avec les termes un et un+1 de la suite. On aurait pu aussi l’écrire de la façon suivante :
pour tout n ≥ 1, un = 3un-1 - 2
La relation de récurrence que nous venons de voir ne fait intervenir que deux termes de la suite : un et un+1
Il existe des relations de récurrence qui font intervenir plusieurs termes consécutifs de la suite.
Par exemple, la relation de récurrence, pour tout n ≥ 1,
un+1 = 2un - un-1
permet de définir une suite avec la donnée des deux premiers termes de la suite u0 et u1.
Si on pose u0 = 1 et u1 = 3 , alors
u2 = 2u1 - u0 = 2 x 3 - 1 = 5
u3 = 2u2 - u1 = 2 x 5 - 2 = 8
u3 = 2u2 - u1 = 2 x 5 - 2 = 8
- Attention !
La donnée de la seule relation de réccurrence ne suffit pas à determiner la suite. Il est indispensable de connaître la ou les valeurs initiales u0 ou u0 et u1, ........
Dans l'exemple ci-dessus, avec la mention de récurrence
un+1 = 2un - un-1
Si on prend u0 = 1 et u1 = 1, on obtient la suite constante égale à 1.
u2 = 2u1 - u0 = 2 x 1 - 1 = 1
u3 = 2u2 - u1 = 2 x 1 - 1 = 1
u3 = 2u2 - u1 = 2 x 1 - 1 = 1
Et si on prend u0 = 1 et u2 = 2 on obtient la suite des entiers naturels non nuls :
u2 = 2u1 - u0 = 2 x 2 - 1 = 3
u3 = 2u2 - u1 = 2 x 3 - 2 = 4
u3 = 2u2 - u1 = 2 x 3 - 2 = 4
Sens de variation d'une suite
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Remarques
1) Si pour tout entier naturel
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2) S’il existe un entier naturel p tel que l’on ait un ≤ un+1 pour tout nombre entier n ≥ p , on dit que la suite est croissante à partir du rang p.
On définit de même une suite décroissante ou stationnaire à partir d’un certain rang.
3) Il existe des suites qui ne sont ni croissantes ni décroissantes.
Exemple
La suite
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pour tout
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Monotonie stricte
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Etude du sens de variation : méthode
Comment faire dans la pratique pour étudier le sens de variation d’une suite ?
On dispose de trois méthodes.
- Méthode 1 : cas d’une suite du type un = ƒ(n)
Lorsque la suite
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Par exemple, si ƒ est croissante sur
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Méthode 2 : méthode de la différence
- Méthode 2 : méthode de la différence
On calcule et on étudie le signe de
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Propriété :
Si pour tout entier n, la différence
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- Si un+1 - un ≥ 0, la suite
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- Si un+1 - un ≤ 0, la suite
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Exemple
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Remarque
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Méthode 3 : méthode du quotient
- Méthode 3 : méthode du quotient
Soit
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On calcule le quotient
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Propriété :
Soit
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- Si pour tout
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- Si pour tout


Exemple
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Remarque
On a un résultat analogue pour les suites


Suites bornées
Définition :
- Une suite

- Une suite

- Une suite

Exemples
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