Suites arithmetiques et géométriques
Cours maths 1ère S
Suites arithmetiques et géométriques : Suites arithmetiques et géométriques |
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Les suites
Les suites arithmétiques et les suites géométriques sont des suites particulières qui servent à modéliser bon nombre de situations de la vie courante.
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Les placements financiers avec taux d’intérêts ou les prêts bancaires sont modélisés avec des suites géométriques.
Suites arithmétiques
Définition :
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Si la suite

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Autrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme s’obtient en ajoutant au terme précédent un nombre réel r, toujours le même.
un suite arithmétique ?
- Quelques points importants à retenir
Pour montrer qu’une suite est une suite arithmétique, il faut donc montrer qu’une suite est une suite arithmétique, il faut donc montrer qu’il existe un nombre réel r indépendant de n tel que, pour tout




Pour montrer qu’une suite n’est pas une suite arithmétique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, la différence

- Attention !
Pour montrer qu’une suite est une suite arithmétique, il ne suffit pas de vérifier que la différence

Exemples
1) La suite de tous les nombres entiers naturels est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1 :
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2) La suite de tous les nombres entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2 :
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Expression du terme général en fonction de n
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Remarque
Soit



ou ƒ est la fonction définie par ƒ(x) = u0 + xr.
On peut donc calculer directement n'importe quel terme la suite.
De plus, comme la fonction ƒ est une fonction affine, une suite arithmétique de raison r est représentée dans le plan par des points alignés sur une droite de coefficient directeur r.
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Représentation de la suite arithmétique
de premier terme 0 et de raison 2 :
0, 2, 4, 6, 8......
Sens de variation d'une suite arithmétique
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- Si r > 0, la suite est strictement croissante.
- Si r < 0, la suite est strictement décroissante.
- Si r = 0, la suite est constante.
Somme des termes d'une suite arithmétique
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Exemple fondamental
Calcul de la somme Sn = 1 + 2 +...+ n
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Carl Friedrich Gauss (30 Avril 1777 à Brunswick – 23 Février 1855 à Göttingen) fut non seulement un illustre mathématicien (il était surnommé « le Prince des mathématiques ») mais aussi un physicien (il fit de nombreux travaux et publications en électricité, optique et magnétisme, théorie du potentiel) et un astronome réputé.
Un jour de 1786, à l’école primaire, le professeur qui voulait occuper ses élèves pendant un moment, leur demanda d’écrire tous les nombres de 1 à 100 et d’en calculer la somme.
Très peu de temps après, le jeune Carl Friedrich Gauss qui n’était âgé que de 9 ans alla le voir et lui montra sa réponse, 5050, qui était exacte.
Son professeur, stupéfait, lui demanda comment il avait fait pour trouver cette réponse aussi rapidement.
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Suites géométriques
Définition :
Soit




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un suite géométrique ?
Autrement dit, une suite est géométrique si et seulement si chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un nombre réel q, toujours le même.
Pour montrer qu’une suite est géométrique, il faut donc montrer qu’il existe un nombre réel non nul q indépendant de n tel que, pour tout


Autrement dit, il faut montrer que le quotient

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Pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, le quotient
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Suite géométrique
- Attention !
Pour montrer qu’une suite est géométrique, il ne suffit pas de vérifier que, le quotient
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Il faut le montrer pout tout entier n.
Exemple
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Expression du terme général en fonction de n
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On a la propriété suivante :
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Soit

Alors,
- Pour tout
- Pour tout
- Pour tout couple (n,p) d'entiers naturels,
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Signe du terme général d'une suite géométrique
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On a un = u0 x qn.
- Si q > 0, alors un, est du signe de u0.
- Si q < 0, alors un n'est pas de signe constant.
Les termes de la suite sont, dans ce cas, alternativement positifs et négatifs : un est du signe de u0 si n est pair et un est de signe opposé à u0 si n est impair.
Sens de variation d'une suite géométrique
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Nous avons vu que si q < 0 alors un n'est pas de signe constant et est alternativement positif et négatif. Dans ce cas la suite

Supposons donc que q > 0.
Comme
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- Si q > 1 et un > 0, c'est à dire u0 > 0, alors la suite
est strictement croissante.
- Si q > 1 et un < 0, c'est à dire u0 < 0, alors la suite
est strictement décroissante.
- Si 0 < q < 1 et un > 0, c'est à dire u0 > 0, alors la suite
est strictement décroissante.
- Si 0 < q < 1 et un < 0, c'est à dire u0 < 0, alors la suite
est strictement croissante.
Remarque :
Ces résultats généraux sur le sens de variation d’une suite géométrique ne sont pas à apprendre mais il faut savoir les retrouver dans l’étude de cas particuliers.
Somme des termes d'une suite géométrique
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