Cours maths 5ème

Somme des angles d'un triangle

A partir d’un travail sur la symétrie centrale, ce chapitre va mettre en évidence que la somme des 3 angles d’un triangle est égale à 180°. Les conséquences pour les angles aigus d’un triangle rectangle et pour les angles d’un triangle équilatéral seront ensuite abordées.

Un problème de symétrie centrale

ABC est un triangle quelconque.
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [BC]
S est le symétrique de C par rapport à I
T est le symétrique de A par rapport à J

 

Les symétriques des points A et C par rapport au point I sont respectivement B et S.

Le symétrique de la droite (AC) par rapport au point I est donc la droite (BS) avec (AC) // (BS).

 

Les symétriques des points A et C par rapport au point J sont respectivement T et B.

Le symétrique de la droite (AC) par rapport au point J est donc la droite (BT) avec (AC) // (BT).

 

Des points alignés ...

On veut montrer que les points S, B et T sont alignés.
On a : (BS) // (AC) et (BT) // (AC).
Or, deux droites parallèles à la même troisième sont parallèles entre elles.
Donc (BS) // (BT).

Ces deux droites ayant en commun le point B, elles sont confondues : S, B et T sont donc alignés.

 

Des angles symétriques

 

Des calculs avec les angles

 

 

 

Propriété de la somme des angles d'un triangle

La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°.

Quelque soit le triangle ABC, on a :

 

Triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en A.

 

Somme des angles aigus d’un triangle rectangle

Propriété :
Dans un triangle rectangle, la somme des 2 angles aigus est égale à 90°.

Une façon de reconnaître un triangle rectangle :

•   Si dans un triangle la somme de deux angles est égale à 90°, alors ce triangle est un triangle rectangle.

 

Mesure des angles d’un triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral. Ses trois angles ont la même mesure.
Cette mesure est donc égale à : 180° / 3 = 60°.

Propriété :
Dans un triangle équilatéral , chacun des angles mesure 60°.

Voici deux façons de reconnaître un triangle équilatéral :

•   Si un triangle a deux angles de 60° alors ce triangle est équilatéral.
•   Si un triangle isocèle a un angle de 60° alors ce triangle est équilatéral.