Sections planes

Cours maths 1ère S

Sections planes :
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Sections planes
 
Nous allons commencer par rappeler les propriétés utiles pour la construction de sections planes de solides.
 
Propriétés : Une droite qui a deux points dans un plan est incluse dans ce plan.
 

 
 
Détermination d'un plan

 
Un plan est déterminé par trois points non alignés, ou par une droite et un point non situé sur cette droite, ou par deux droites sécantes ou par deux droites strictement parallèles.

 
 
Intersection de deux plans sécants

 
L’intersection de deux plans sécants est une droite.

 

 
Droites parallèles
 
Définition : deux droites parallèles sont deux droites situées dans un même plan et parallèles dans ce plan.

 
 
Plans parallèles
 

Si deux droites sécantes d’un plan sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un autre plan, alors les deux plans sont parallèles.

 
 
Théorème du toit
 
Soient P et P’ deux plans sécants suivant une droite et soient D et D ’ deux droites incluses respectivement dans les plans P et P‘.

- Si les droites D et  D’ sont parallèles, alors elles sont parallèles à la droite.
- Si les droites D et D’ sont sécantes, alors elles sont sécantes en un point de la droite.
 

 
 

Sections planes
 
Définition : Soient S un solide et P un plan. On appelle section plane du solide S par le plan P, la surface plane formée des points communs de S et de P. La section plane de S par P s’appelle aussi la « trace de P sur le solide S ».

Sections planes d'un cube :

La section d’un cube par un plan peut être :

     - un point          - un carré
     - un segment     - un trapèze
     - un triangle      - un pentagone
     - un rectangle   - un hexagone

 
 
Exemple

Comment tracer la section plane du cube par le plan (IJK). On trace la droite (IJ) et on prolonge les arêtes [EF] et [FG] du cube. Les droites (IJ) et (EF) se coupent en un point M. Les droites (IJ) et (FG) se coupent en un point L.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La droite (KM) est incluse dans le plan (IJK) car les deux points K et M appartiennent au plan (IJK). On trace la droite (KM). Soit N le point commun aux droites (MK) et (AE).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Le point N appartient au plan (IJK), donc le segment [NI] est inclus le plan (IJK). De même, on trace la droite (KL) et le point O commun aux droites (KL) et (CG). Le point O appartient au plan (IJK).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
Il ne reste plus qu’à tracer le segment [JO]. La section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est le pentagone  INKOJ.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
Sections planes d'un tétraèdre
 
Un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.
 
La section d’un tétraèdre par un plan peut être :

    - un point
    - un segment
    - un triangle
    - un quadrilatère

 

 

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