Repères de l'espace

Cours maths 1ère S

Repères de l'espace :
Repères de l'espace
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Notion de vecteur de l’espace
La notion de vecteur du plan se généralise sans difficulté à l’espace.
Définition
Soient A et B deux points distincts de l’espace.
Le vecteur   est parfaitement déterminé par 
         
- sa direction : celle de la droite (AB),
   
- son sens : de A vers B,
   
- sa norme : la distance AB aussi notée llll
 
   
Les vecteurs de l’espace ont les mêmes propriétés que les vecteurs du plan.

Vecteurs égaux
Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.
Les deux vecteurs non nuls   et  sont égaux.
    - si et seulement si ils ont même direction, même sens et même longueur,
    - si et seulement si ABCD est un parallélogramme.  

Vecteurs opposés
Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.
Les deux vecteurs non nuls   et   sont opposés si et seulement si ils ont même direction, des sens opposés et même norme.
 
Les deux vecteurs et  sont opposés si et seulement si les vecteurs et  sont égaux.
Vecteurs coplanaires
Définition
Des vecteurs sont coplanaires si et seulement si en traçant leurs représentants à partir d’un même point A, les extrémités de ces représentants sont coplanaires avec A.

Exemple


- Les vecteurs et
sont coplanaires.

- Les vecteurs
,   et   ne sont pas coplanaires.         
  
  
Remarque

Deux vecteurs sont toujours coplanaires.

Somme de deux vecteurs

Soient  et  deux vecteurs de l’espace.
Comme les vecteurs et  sont coplanaires, on peut obtenir la somme + de ces deux vecteurs en utilisant les deux méthodes utilisées dans le plan :
- la règle du parallélogramme,
- la relation de Chasles.
Règle du parallélogramme

où D est le point tel que ABDC est un parallélogramme.


Relation de Chasles



Produit d’un vecteur par un scalaire

Soit
un vecteur de l’espace et soit k un nombre réel.
On définit le vecteur k de la façon suivante :

Produit d'un vecteur par un scalaire

Calcul vectoriel

Important
L’addition des vecteurs et la multiplication d’un vecteur par un scalaire dans l’espace ont les mêmes propriétés que dans le plan.

Propriétés
Soient et  deux vecteurs de l’espace et k et k’ deux nombres réels.
Alors : 

Vecteurs colinéaires
Définition
Deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si et seulement si l’un des deux est le produit de l’autre par un scalaire.    
et  colinéaires

Les vecteurs et 
sont  colinéaires.
  
Les vecteurs
et sont colinéaires.

 
  
    
Remarques
1) Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur
car
2) Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.      

Vecteurs colinéaires et droites

Propriétés
Soient A et B deux points distincts de l’espace.
Un point M de l’espace appartient à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs  et sont colinéaires.
On a donc :
le point M appartient à la droite (AB) si et seulement si il existe un nombre réel t tel que  = t

Vecteurs colinéaires et droites parallèles
Propriétés
Soient A, B, C et D quatre points de l’espace.
Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles
si et seulement si
les vecteurs
et sont colinéaires.
* Les vecteurs
et sont colinéaires.

* Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Plans de l’espace

Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace.
Un point M de l’espace appartient au plan (ABC) si et seulement si  il existe deux nombres réels x et y tels que  = x + y

Repères de l’espace

Définition
Un repère de l’espace est un quadruplet   formé :
- d’un point O appelé origine du repère,
- d’un triplet  de vecteurs non coplanaires. 
Si les vecteurs   sont deux à deux orthogonaux, le repère est dit orthogonal.

Si de plus on a

  
On dit que le repère
est orthonormé.

  
  
Coordonnées d’un point de l’espace

Propriété
Soit
un repère de l’espace. Pour tout point M de l’espace il existe un unique triplet (x,y,z) de nombres réels tels que   

x s’appelle l’abscisse de M

y
s’appelle l’ordonnée de M

z
s’appelle la côte de M

(x,y,z) sont les coordonnées du point M dans le repère


Plans de coordonnées

Un point M de coordonnées (x,y,z) dans repère
de l’espace appartient au plan (xOy) si et seulement si  z = 0     

z = 0 est une équation du plan (xOy).

  
De même,
le plan (yOz) a pour équation x = 0.

le plan (xOz) a pour équation y = 0.

les trois plans (xOy) , (yOz) et (xOz) sont les trois plans coordonnées. 

  
  
Règles de calcul
Propriété 1
Si dans un repère on a (x, y, z) et ' (x', y', z') ,  alors +'a pour coordonnées  (x+x', y+y', z+z')  et, pour tout nombre réel k, ,k a pour coordonnées (kx, ky, kz)

Propriété 2
Si A et B sont deux points de l’espace de coordonnées respectives (xA, yA, zA) et (xB, yB, zB) dans un repère, alors
* Le vecteur a pour coordonnées
(xB - xA, yB - yA, zB - zA)

* Le milieu de [AB] a pour coordonnées



* Si le repère est orthonormé : 


 
 

 


         Cours complémentaires :

► Vecteurs de l’espace
► Droites et plans de l’espace
► Sections planes
► Translations et homothéties
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