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Cours maths 1ère S

Repères de l'espace

Repères de l'espace

 

Notion de vecteur de l’espace

La notion de vecteur du plan se généralise sans difficulté à l’espace.

Définition

Soient A et B deux points distincts de l’espace.
Le vecteur est parfaitement déterminé par

- sa direction : celle de la droite (AB),

- son sens : de A vers B,

- sa norme : la distance AB aussi notée ll ll

Les vecteurs de l’espace ont les mêmes propriétés que les vecteurs du plan.

 

Vecteurs égaux

Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.
Les deux vecteurs non nuls et sont égaux.
   - si et seulement si ils ont même direction, même sens et même longueur,
   - si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

 

Vecteurs opposés

Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.
Les deux vecteurs non nuls et sont opposés si et seulement si ils ont même direction, des sens opposés et même norme.

Les deux vecteurs et sont opposés si et seulement si les vecteurs et sont égaux.

 

Vecteurs coplanaires

Définition

Des vecteurs sont coplanaires si et seulement si en traçant leurs représentants à partir d’un même point A, les extrémités de ces représentants sont coplanaires avec A.

Exemple

- Les vecteurs , et sont coplanaires.

- Les vecteurs , et ne sont pas coplanaires.

Remarque

Deux vecteurs sont toujours coplanaires.

 

Somme de deux vecteurs

Soient et deux vecteurs de l’espace.

Comme les vecteurs et sont coplanaires, on peut obtenir la somme + de ces deux vecteurs en utilisant les deux méthodes utilisées dans le plan :

- la règle du parallélogramme,
- la relation de Chasles.

 

Règle du parallélogramme

  où D est le point tel que ABDC est un parallélogramme.

 

Relation de Chasles

 

Produit d’un vecteur par un scalaire

Soit un vecteur de l’espace et soit k un nombre réel.

On définit le vecteur k de la façon suivante :

 

Produit d'un vecteur par un scalaire

 

Calcul vectoriel

Important

L’addition des vecteurs et la multiplication d’un vecteur par un scalaire dans l’espace ont les mêmes propriétés que dans le plan.

Propriétés

Soient et deux vecteurs de l’espace et k et k’ deux nombres réels.

Alors :

 

Vecteurs colinéaires

Définition

Deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si et seulement si l’un des deux est le produit de l’autre par un scalaire.

et colinéaires

Les vecteurs et sont colinéaires.

Les vecteurs et sont colinéaires.

Remarques

1) Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur car
2) Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

 

Vecteurs colinéaires et droites

Propriétés

Soient A et B deux points distincts de l’espace.

Un point M de l’espace appartient à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

On a donc :

le point M appartient à la droite (AB) si et seulement si il existe un nombre réel t tel que = t

 

Vecteurs colinéaires et droites parallèles

Propriétés

Soient A, B, C et D quatre points de l’espace.

Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles
si et seulement si
les vecteurs et sont colinéaires.
* Les vecteurs et sont colinéaires.
* Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles.

 

Plans de l’espace

Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace.

Un point M de l’espace appartient au plan (ABC) si et seulement si il existe deux nombres réels x et y tels que = x + y

 

Repères de l’espace

Définition

Un repère de l’espace est un quadruplet formé :
- d’un point O appelé origine du repère,
- d’un triplet de vecteurs non coplanaires.

Si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux, le repère est dit orthogonal.

Si de plus on a

On dit que le repère est orthonormé.

 

Coordonnées d’un point de l’espace

Propriété

Soit un repère de l’espace. Pour tout point M de l’espace il existe un unique triplet (x,y,z) de nombres réels tels que

x s’appelle l’abscisse de M

y s’appelle l’ordonnée de M

z s’appelle la côte de M

(x,y,z) sont les coordonnées du point M dans le repère

 

Plans de coordonnées

Un point M de coordonnées (x,y,z) dans repère de l’espace appartient au plan (xOy) si et seulement si z = 0

z = 0 est une équation du plan (xOy).

De même,
le plan (yOz) a pour équation x = 0.

le plan (xOz) a pour équation y = 0.

les trois plans (xOy) , (yOz) et (xOz) sont les trois plans coordonnées.

Règles de calcul

Propriété 1

Si dans un repère on a (x, y, z) et ' (x', y', z') , alors + ' a pour coordonnées (x+x', y+y', z+z') et, pour tout nombre réel k, k a pour coordonnées (kx, ky, kz)

Propriété 2

Si A et B sont deux points de l’espace de coordonnées respectives (xA, yA, zA) et (xB, yB, zB) dans un repère, alors

* Le vecteur a pour coordonnées
(xB - xA, yB - yA, zB - zA)

* Le milieu de [AB] a pour coordonnées

* Si le repère est orthonormé :