Educastream, organisme spécialisé dans le soutien scolaire par visioconférence

Cours maths 3ème

Réciproque du théorème de Thalès

Ce cours a pour objectifs de démontrer, puis d’utiliser la réciproque de la propriété de Thalès.

 

Activité : Des cas particuliers

Dans chacun des cas suivants, comparer :
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

 

 

Activité : Figure 1

Traçons les droites (MN) et (BC).

M est le milieu de [AB] donc :
N est le milieu de [AC] donc :
Ainsi :

 

On sait que :
ABC est un triangle, M est le milieu de [AB], N est le milieu de [AC]
Or :
dans un triangle, si une droite joint les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté
Donc :
(MN) // (BC)

 

Activité : Figure 2

Traçons les droites (MN) et (BC).

AM = AB donc
AN = AC donc
Ainsi :

 

On sait que :
M et B sont symétriques par rapport à A
N et C sont symétriques par rapport à A
D'ou :
(MN) et (BC) sont symétriques par rapport à A
Or :
dans un triangle, si une droite joint les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté
Donc :
(MN) // (BC)

 

Activité : observations

Dans chacun des cas suivants,
Placer M et N sur chaque figure puis répondre à la question :
« Les droites (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? »

 

 

M є [Ax’), N є [Ay’), k = 2÷5 ... (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? Oui

 

 

M є [Ax), N є [Ay), k = 1÷4 ... (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? Oui

 

 

M є [Ax), N є [Ay’), k = 4÷3 ... (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? Non

 

Quelle condition faut-il ajouter à celle de l’égalité des rapports pour que les droites (MN) et (BC) soient parallèles ?

Il faut en plus que les points A, B, M et les points A, C, N soient alignés et dans le même ordre.

 

Réciproque du théorème de Thalès

Enoncé de la réciproque du théorème de Thalès :

Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A.
Soient B et M deux points de (d) distincts de A.
Soient C et N deux points de (d’) distincts de A.
Si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre et
Alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

 

 

A quoi sert ce théorème ?
Ce théorème sert à montrer que deux droites sont parallèles.

 

Exemple d’application de la réciproque du théorème de Thalès

Exemple :

AC = 10 cm
AE = 4 cm
AD = 6 cm
AB = 15 cm

 

Montrer que les droites (ED) et (BC) sont parallèles.

 

 

On sait que :
les points A, E, C et les points A, D, B sont alignés dans le même ordre et

D’après la réciproque du théorème de Thalès :
les droites (ED) et (BC) sont parallèles