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Cours maths 3ème

Racines carrées - définition

Ce cours a pour objectifs de définir les racines carrées et de faire travailler autour de la définition et de la propriété ainsi que de travailler l’utilisation de la calculatrice.

 

Avant de commencer

Compléter :

(-3)² = 9

-3² = -9

2 × 5² = 2 × 25 = 50

(-5)² = 25

5² = 25

 

4 a pour carré 16

49 est le carré de 7 et de (-7)

 

Quelles réponses ?

Entourer la ou les bonnes réponses :

36 est le carré de :

 

En effet, 6² = 36 et (-6)² = 36
Donc 36 est le carré de 6 et de (-6).

 

4 a pour carré :

4² = 4 × 4 = 16

 

Activité 1 : un cas connu

ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 2,4 cm et AC = 3,2 cm.
Calculer BC.

 

ABC est un triangle rectangle, on peut donc utiliser la propriété de Pythagore:
BC² = AB² + AC²
BC² = 2,4² + 3,2²
BC² = 5,76 + 10,24
BC² = 16

 

16 est le carré de 4 et de (-4).
Or BC est une longueur donc BC doit être positif.

 

Donc BC = 4

 

Activité 2 : un autre cas

DEF est un triangle rectangle en D tel que : DE = 3,5 cm et DF = 5 cm.
Calculer EF.

 

DEF est un triangle rectangle, on peut donc utiliser la propriété de Pythagore:
EF² = DE² + DF²
EF² = 3,5² + 5²
EF² = 12,25 + 25
EF² = 37,25

 

Dans ce cas, 37,25 n’est pas un carré connu.
Il faut utiliser la touche √  de la calculatrice.

 

Activité 2 : conclusion

La calculatrice affiche 6,103277808.
Or 6,103277808² ≠ 37,25
C’est donc une valeur approchée

 

La valeur exacte de EF est √37,25 cm

La valeur approchée de EF à 0,1 cm près est 6,1 cm

 

Signes de racines carrées et observations

Dans chaque cas, une seule réponse est correcte.
Utiliser la calculatrice pour trouver la bonne réponse.

 

En utilisant les observations précédentes, compléter :

 

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
La racine carrée d’un nombre positif est toujours un nombre positif.

 

 

Carrés, racines carrées et observations

Dans chaque cas, une seule réponse est correcte.
Utiliser la calculatrice pour trouver la bonne réponse.

 

En utilisant les observations précédentes, compléter :

Pour tout nombre positif a, √a2 = négatif et (√a)2 = négatif

 

 

Racine carrée d'un nombre positif

Définition : a désigne un nombre positif
La racine carrée de a est le seul nombre positif dont le carré est a.
Ce nombre est noté √a.
Si a > 0 alors (√a)2 = a

 

Exemples :

√0 = 0 ; √1 = 1

 

Propriété : Quel que soit le nombre positif a, on a : √a2 = a

 

Exemples :

 

Valeur exacte et valeur approchée de racines carrées

Remarque : Sur les calculatrices, la touche √ donne la valeur exacte ou une valeur approchée.

 

Exemples :

1) Pour √121, la calculatrice affiche 11. C'est une valeur exacte.

2) Pour √2, la calculatrice affiche 1,414213562. C'est une valeur approchée.

 

Cours : équation x2 = a

Propriété : Soit a un nombre donné

Si a < 0 , alors l’équation x² = a n’a pas de solution.
Si a = 0 , alors l’équation x² = a   a une solution : x = 0.
Si a > 0 , alors l’équation x² = a   a deux solutions : x = - √a  et x = √a.

Exemples : Résoudre les équations :

x² = -1 : Cette équation n’a pas de solution

x² = 11 : Cette équation a deux solutions : x = -√11 et x = √11