Projection orthogonale
Cours maths 1ère S
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Rappel : produit scalaire de deux vecteurs
Définition
Soient
et 
deux vecteurs du plan.Si
et sont non nuls, on appelle produit scalaire de et le nombre réel noté 
défini par :
Si
ou est le vecteur nulalors
Produit scalaire et projection orthogonale
Théorème
Soient A, B,C trois points du plan tels que
et 
et soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors :
Configurations fondamentales
Configurations fondamentales
Théorème et définition
Soient
un vecteur unitaire d’un axe (A , ) et un vecteur.Il existe un unique vecteur
colinéaire à tel que 
. On l’appelle projeté orthogonal de
sur (A , ). Démonstration
Tout vecteur
colinéaire à est de la forme 
où k est un nombre réel. Alors
car
est un vecteur unitaire, c’est-à-dire tel que 
.Donc
si et seulement si 
. Ce qui prouve l’existenceet l’unicité de
.
Projeté orthogonal d’un vecteur
On a donc :
Si
est un vecteur unitaire, est le projeté orthogonal de sur (A,) si et seulement si 
Si
alors 
où M’ et N’ sont les projetés orthogonaux de M et N sur .
Démonstration
Si
et si M’ et N’ sont les projetés orthogonaux de M et N sur (A,), alors 
est un vecteur colinéaire à et on a
Or les vecteurs
et 
sont orthogonaux à donc 
et 
d’où
Ce qui prouve que
est le projeté orthogonal de sur (A,). Si
et sont deux vecteurs non nuls, le projeté orthogonal de sur un axe (A, ) est le vecteur 
Exemple
Soient
et les deux vecteurs de coordonnées respectives
et 
.Calculons le projeté orthogonal
du vecteur sur l’axe (O,
).On a
d’où
Le projeté orthogonal
de sur l’axe (O, ) est le vecteur 
du cordonnées 
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