Probabilités conditionnelles

Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé à six faxes.

Les issues possibles de l’expérience peuvent être représentées à l’aide d’un arbre de choix.

En supposant l’univers équiprobable,
chaque événement élémentaire a pour probabilité : 

Si nous transformons chaque issue en événement et si nous affectons à chacun de ces événements élémentaires sa probabilité,
nous obtenons alors un arbre pondéré représentant l’expérience.

Plus généralement :
Un arbre pondéré représente une partition de l’univers en événements, affectés de leur probabilité respective.


Il y a donc autant d’arbres pondérés pour une expérience que de partitions de l’univers.

Autre exemple d’arbre pondéré pour cette expérience :

Soit A l’événement : « le chiffre obtenu est pair ».
A = { 2; 4; 6 } donc card A = 3 d’où :
A et son événement contraire  représentent une partition de l’univers.

On a donc l’arbre pondéré :

 

Lançons maintenant un second dé, à la suite du premier.

Soit B l’événement : « le chiffre obtenu au second lancer est un multiple de 3 »

B = { 3; 6 } donc card B=2 d’où :

On a donc l’arbre pondéré pour le second lancer :

Sachant que l’on a obtenu un nombre pair au premier lancer,
on peut obtenir au second lancer : soit un chiffre multiple de 3, soit un chiffre non multiple de 3.

Il en est de même sachant que l’on a obtenu un nombre impair
au premier lancer.

Le lancer d’un dé étant une expérience absolument aléatoire,
le résultat obtenu au second lancer
ne dépend pas du résultat obtenu au premier lancer.

Les probabilités sur les branches secondaires
sont donc les mêmes que celles trouvées plus haut pour le second lancer.

Un parcours ou chemin sur l’arbre,
représente un événement pour l’expérience globale.

Le parcours rouge, par exemple, représente l’événement :

«  le chiffre sur le premier dé est pair
    et le chiffre sur le second dé n’est pas un multiple de 3 ».

Plus généralement :
Un parcours sur l’arbre représente l’intersection de tous les événements rencontrés sur ce parcours.

En partant d’un nœud, on réalise la partition d’un « sous-univers ».

Ici, par exemple,
nous sommes dans un sous-univers où le premier dé a donné un chiffre impair.

La probabilité pour qu’ensuite, le chiffre sur le second dé soit un chiffre multiple de 3 ou, non multiple de 3, est totale

donc, la somme des probabilités des branches partant de est égale à 1.

Plus généralement, on obtient la règle n° 1, appelée :

Loi des nœuds :
La somme des probabilités inscrites
sur les branches partant d’un même nœud est égale à 1.

  

Règle n° 2 ( admise )

La probabilité d’un parcours est égale

au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce parcours.

Exemple :

 

Loi des probabilités totales :
Si les événements A₁ ; A₂ ; ... ; A_n    forment une partition de l’univers

alors, quel que soit l’événement B :

Illustration pour une partition de l’univers en 3 événements :

En effet,   A₁ ; A₂ ; ... ; A_n formant une partition de l’univers
forment une partition de B, d’où la formule.

Dans le cas d’un arbre pondéré, nous pouvons donc énoncer la règle n° 3 :

  

  

La probabilité d’un événement B est
la somme des probabilités des parcours
qui mènent à B.

 
 

Exemple et rédaction type :

A et forment une partition de l’univers, donc d’après la loi des probabilités totales :

Soit une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes.
On tire une première boule de l’urne.

Appelons R₁ l’événement : « la première boule tirée est rouge ».
Appelons V₁ l’événement : « la première boule tirée est verte ».

On a alors l’arbre pondéré suivant :

Si l’on veut enchaîner avec un second tirage, on peut imaginer deux situations :

Nous sommes dans le cas de tirages successifs indépendants, vu en début de module :

Appelons R₂ l’événement : « la seconde boule tirée est rouge ».
Appelons V₂  l’événement : « la seconde boule tirée est verte ».

- situation n° 2 :

On ne remet pas la première boule tirée dans l’urne avant de tirer la seconde boule.

La probabilité d’un événement du second tirage dépend alors du résultat du premier tirage.

En effet :
Supposons par exemple que la première boule tirée est rouge,
il reste alors dans l’urne : 2 boules rouges et 2 boules vertes.

La probabilité pour que la seconde boule tirée soit rouge devient alors de  soit 

 
  
Cette probabilité que l’on marque sur la branche allant de R₁ à R₂

se note : p_R1 (R₂)   Et se lit : « p de R₂ sachant R₁ ».

C’est à dire, probabilité que l’événement  R₂ se réalise sachant que
l’événement  R₁ s’est produit.

Et donc en utilisant la loi des nœuds, on trouve :
Si la première boule tirée est verte alors il reste dans l’urne : 3 boules rouges et une verte.
Donc :
Et d’après la loi des nœuds ou en raisonnant sur les boules :
Si l’objectif est de trouver la probabilité
pour que la seconde boule tirée soit rouge,
on utilise la loi des probabilités totales :
 
R₁ et V₁ forment une partition de l’univers,
donc d’après la loi des probabilités totales :


Et la probabilité d’un parcours étant égale au produit
des probabilités inscrites sur les branches d’un parcours :

Soit l’arbre de référence, suivant, correspondant à une expérience aléatoire à deux étapes :

L’événement B est dit indépendant de A si la probabilité qu’il se réalise est la même, que A se soit produit ou non.

D’où le théorème :
Si A est un événement non impossible :
B est indépendant de A si et seulement si 

Donc, si A est aussi non impossible :
« A est indépendant de B » est équivalent à « B est indépendant de A ».

D’où le théorème final :
Si A et B sont deux événements non impossible :
A et B sont indépendantq de A si et seulement si 

Soit une expérience aléatoire à partir de laquelle on définit deux variables aléatoires X et Y.

On note x_i (1 < i < n) les n valeurs prises par X et y_j (1 < j < p)  les p valeurs prises par Y.

* Les variables aléatoires X et Y sont sites indépendantes si :
Pour tout i et pour tout j, les événements [ X = x_i ] et [ Y = y_j ] sont indépendants.

D’un point de vue pratique :
Pour montrer que X et Y sont indépendantes, il faut montrer pour tout i et pour tout j que :

Afin d’y parvenir, on définit la loi du couple ( X ; Y ),
ce qui correspond à donner la probabilité des événements :

cette loi est présentée
sous la forme d’un tableau croisé :

 

On commence donc toujours par remplir les deux lois sur les deux côtés du tableau, car :

- Dans un premier temps, elles nous permettent au cours des calculs de vérifier la somme des p( X ; Y )   sur chaque ligne et sur chaque colonne.

- Dans un deuxième temps, elles nous permettent de savoir si les variables sont indépendantes :
ce sera le cas si la probabilité sur chaque case est égale au produit des probabilités en bout de ligne et colonne.