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Cours maths 5ème

Nombres relatifs - addition et soustraction

A partir de situations pratiques, cette notion montre comment ajouter deux nombres relatifs dans tous les cas possibles. Une démarche analogue permettra de définir la soustraction de deux nombres relatifs. Pour terminer, la notion d’écriture simplifiée et de somme algébrique sera abordée.

Jouons : règle du jeu

Quatre amis jouent au jeu suivant : chacun d’entre eux lance 10 pièces de monnaie ; le côté « pile » rapporte 1 point, le côté « face » fait perdre 1 point. On compte les points à chaque lancer ; le résultat est soit positif (le nombre de « pile » est supérieur au nombre de « face », soit négatif dans le cas contraire. Une partie est composée de deux lancers.

Jouons : remarques

On a obtenu les additions suivantes :

On remarque que le signe du résultat et sa distance à zéro dépendent des types de nombres que l’on ajoute.

 

Addition de deux nombres relatifs

La somme de deux nombres relatifs de même signe est le nombre relatif qui a :
1/ pour signe, le signe commun aux deux termes de l’addition
2/ pour distance à zéro, la somme des deux distances à zéro

La somme de deux nombres relatifs de signes différents est le nombre relatif qui a :
1/ pour signe, le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro
2/ pour distance à zéro, la différence des deux distances à zéro.

Addition : exemples

On donne les additions suivantes à effectuer :

 

Addition de plusieurs nombres relatifs

Si on doit ajouter plusieurs nombres relatifs, (+4) + (– 8) + (+7) + (+2) + (– 9)

On regroupera d’abord les nombres relatifs de même signe

= (+4) + (+7) + (+2) + (– 8) + (– 9)

On cherchera la somme pour chacun des deux groupes obtenus

= (+13) + (– 17)

On ajoutera enfin les deux nombres obtenus.

= (– 4)

 

Addition de deux nombres relatifs opposés

Deux nombres opposés ont des signes différents mais la même distance à zéro ...

Leur somme a donc pour distance à zéro la différence de deux nombres égaux, c’est-à-dire 0.

La somme de deux nombres relatifs opposés est toujours nulle.

Vers la soustraction

On a l’addition suivante : ( – 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )

J’enlève alors (+7) au premier membre de l’addition, l’opération devient : (– 3 ) + ( + 7 ) – ( + 7 ) = ( – 3 )

Car : a – a = 0 quelle que soit la valeur de a.

Or : ( – 3 ) + ( + 7 ) – ( + 7 ) = ( + 4) – ( + 7 ) = ( – 3 )

Mais : ( + 4) + (– 7 ) = ( – 3 )

Donc enlever ( + 7 ) revient à ajouter ( – 7 ).

 

Soustraction de deux nombres relatifs

Enlever un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
( + 5 ) – ( + 14 ) = ( + 5 ) + ( – 14 ) = (– 9 )

 

Écriture simplifiée des nombres relatifs

Dans une addition de plusieurs nombres relatifs,on prendra pour habitude d’adopter l’écriture suivante :
1/ Un nombre positif écrit en tête de calcul ne sera pas précédé du signe +
2/ les signes + indiquant les additions ne seront plus écrits.
3/ les nombres relatifs ne seront plus écrits entre parenthèses

( + 4 ) + ( – 8 ) + ( + 7 ) + ( – 5 ) s’écrira 4 – 8 + 7 – 5

Écriture simplifiée : attention

Pour pouvoir utiliser une écriture simplifiée, il ne devra pas y avoir de soustraction dans le calcul.

S’il y a une ou plusieurs soustractions dans le calcul, il faudra d’abord les transformer en addition.

( + 4 ) – ( – 8 ) – ( + 7 ) + (– 5 ) = ( + 4 ) + ( +8 ) + (– 7 ) + (– 5 ) = 4 + 8 – 7 – 5

Somme algébrique

Une somme algébrique est une opération composée d’une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs.

Pour calculer une somme algébrique, il faudra qu’elle ne contienne que des écritures simplifiées.

On pensera donc à transformer les soustractions en additions de l’opposé lorsque cela sera nécessaire.