Limite d'une suite

Cours maths 1ère S

Limite d'une suite :
Limite d'une suite
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Achille et la tortue


La notion de limite d’une suite a permis de comprendre un paradoxe imaginé par le philosophe grec Zénon d’Elée environ 465 ans avant Jesus-Christ : le paradoxe d’Achille et de la tortue.

"Pour une raison maintenant oubliée dans les brumes du temps, une course avait été organisée entre le héros Achille et une tortue. Le premier se déplaçant beaucoup plus vite que la econde, celle-ci démarra avec une certaine avance pour équilibrer les chances des deux concurrents…"

« … La première chose à faire pour Achille fût de combler son retard en se rendant à l’endroit de départ de la tortue qui, pendant ce laps de temps, s’était déplacée. Achille dut donc combler ce nouvel handicap alors que la tortue, bien que d'une lenteur désespérante, continuait inexorablement sa route, créant ainsi un handicap supplémentaire... Battu et furieux, Achille exigea une revanche mais rien n’y fit, ni la longueur de la course, ni la vitesse de déplacement d’Achille. En effet, aussi petits que soient les
handicaps successifs créés par la tortue, Achille mettait toujours un certain temps pour combler chacun d’entre eux et, malgré tous ses efforts, il ne put jamais rattraper la tortue !"


Suite de limite infinie

Chercher la limite éventuelle d’une suite  , c’est étudier le comportement des termes       de la suite lorsque l’on donne à n des valeurs aussi grandes que l’on veut.

Définition :

Soit (un)n∈N une suite de nombre réels. On dit la suite
(un)n∈N a pour limite +∞ si tous ses termes sont aussi grands que l’on veut pour n suffisamment grand.

Autrement dit, pour tout nombre réel M, tous les un sont plus grands que M à partir d’un certain rang.

On note alors:


Exemple


un = n²

Quand n devient très grand, devient  aussi très grand.

Pout nombre réel positif M, aussi grand que soit M, il existe toujours une valeur de n à partir de
laquelle
est plus grand que M.

En effet, pour tout n ∈ N tel que n > √M, on a :

 

Suite de limite - ∞


Définition :


On  définit de même :

Soit
(un)n∈N une suite de nombre réels. On dit que la suite (un)n∈N a pour limite -∞ si, pour tout nombre réel M,  tous les un sont inférieurs à M à partir d’un certain rang.


On note alors :


Remarque




Suites de référence




Remarque


  • On en déduit que les suites

(-√n), (-n), (-), (-n3)....,(-np) avec p ∈ N* et (-qn) que q > 1 ont pour limite -
.


Démonstration de la propriété


Pour montrer qu'une suite
(un)n∈N tend vers +, il faut montrer que pour tout nombre réel M, un > M pour n suffisamment grand.

Il suffit donc de trouver un rang à partir duquel un > M.

  • un = √n

On a donc √n > M dès que n > M² d'où pour tout n > M², √n > M et on a


Démonstration


  • Nous avons déjà vu dans l'exemple que


  • un = np pour p ≥ 1

Comme p ≥ 1, pour tout n ∈ N, on a np ≥ n, donc si n > M, on a np ≥ M.

d'où



Soient q > 1 et un = qn

Posons q = 1 + a alors a > 0 et un = (1 + a)n

Admettons un instant que (1 + a)n > 1 + na > na (nous le montrerons tout de suite après)

d'où si  alors un = qn > na > M

donc



Montrons (1 + a)n > 1 + na

Pour cela, posons ƒ(x) = (1 + x)n - nxn
N*.

La fonction
ƒ est définie et dérivable sur R et

ƒ'(x) = n(1 + x)n-1-n
            = n [(1 + x)n-1 - 1]

Pour n ≥ 1, la fonction g : x → (1 + x)n-1 est croissante sur [0,+
[ donc g(x) g(0)

C'est à dire (1 + x)n-1
1 et ƒ'(x) = n [(1 + x)n-1-1] 0.

La fonction
ƒ est donc croissante. On a donc : ƒ(a) ƒ(0)

C'est à dire  (1 + a)n - na
1

Ou encore (1 + a)n
≥ 1 + na


Propriétés





Suite convergente


Définition :

Soit (un)n∈N une suite de nombre réel et soit un nombre réel. La suite (un)n∈N converge vers si et seulement si tout intervalle ouvert L contenant contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.





Définition



Autrement dit la suite (un)n∈N converge vers si et seulement si, pour tout intervalle ouvert L contenant , on peut trouver un entier n0 N tel que, pour tout n N, si n ≥ n0, alors un i.



Unicité de la limite


Théorème et définition : Soit (un)n∈N une suite de nombres réels et soit R. Si la suite (un)n∈N converge vers, alors est unique. On l'appelle la limite de la suite (un)n∈N et on note :


Démonstration








Remarques


  • Attention !

On dit quelques fois que "la suite converge vers +
∞ (ou -∞)" mais une suite qui tend vers +∞ ou vers -∞ n'est pas convergente.

Une suite divergente peut-être une suite qui tend vers une limite mais elle peut aussi être une suite qui n'a pas de limite.



Exemple


Soit
(un)n∈N la suite définie par un = (-1)n

Alors pour tout n
N,

  • Si n est pair, un = (-1)n = 1
  • Si n est impair, un = (-1)n = -1

La suite (un)neN ne peut donc être convergente.

En effet, si elle convergeait vers
∈ R, il existerait un rang n0 N tel que, pour tout nN, tel que n ≥ n0, on aurait :
Il faudrait donc avoir

Or, ceci est impossible car aucun intervalle de longueur  ne peut contenir à la fois le point 1 et le point -1.

La suite
(un)n∈N ne peut donc être convergente.


Suites de référence





Lien entre limite de suite et limite de fonction





Réciproque


  • Attention !

La réciproque est fausse.
Soit f la fonction définie sur R par
ƒ(x) = sin (2πx)
Alors, pour tout n N, on a
ƒ(x) = sin (2πx)
La suite (ƒ(n))nIN est donc constante et converge vers 0.

Pourtant la fonction f n'a pas de limite en +



Opérations sur les limites


Soient
(un)n∈IN et (Vn)nIN deux suites convergentes et soientet' deux nombres réels tels que
  et
Alors

- La suite  converge vers
- la suite  converge vers
- si , la suite converge vers



Théorème des gendarmes


Soient et  trois suites de nombres réels telles que, pour tout
Si les suites (Un) et (Wn) convergent vers la même limite alors la suite (Vn) converge elle aussi vers.





Les deux suites
(Un) et (Wn), comme deux gendarmes, encadrent la suite pour la « conduire » vers leur limite .







Exemple






Limites et ralation d'ordre


Propriété

Soit (un) une suite convergente de nombres réels et soit
sa limite. Soit m un nombre réel.

Si, pour tout n
N, on a un ≤ m,

alors
m.

Remarque

On a aussi, si pour tout ,
alors


Propriété


Soit
et deux suites convergentes de nombres réels et soientet' leurs limites respectives.

Si, pour tout
,   ,

alors



 
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