Limite d'une suite
Cours maths 1ère S
Limite d'une suite : Limite d'une suite |
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Achille et la tortue
La notion de limite d’une suite a permis de comprendre un paradoxe imaginé par le philosophe grec Zénon d’Elée environ 465 ans avant Jesus-Christ : le paradoxe d’Achille et de la tortue.
"Pour une raison maintenant oubliée dans les brumes du temps, une course avait été organisée entre le héros Achille et une tortue. Le premier se déplaçant beaucoup plus vite que la econde, celle-ci démarra avec une certaine avance pour équilibrer les chances des deux concurrents…"
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Suite de limite infinie
Chercher la limite éventuelle d’une suite , c’est étudier le comportement des termes de la suite lorsque l’on donne à n des valeurs aussi grandes que l’on veut.
Définition :
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Autrement dit, pour tout nombre réel M, tous les un sont plus grands que M à partir d’un certain rang.
On note alors:
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Exemple
un = n²
Quand n devient très grand, n² devient aussi très grand.
Pout nombre réel positif M, aussi grand que soit M, il existe toujours une valeur de n à partir de
laquelle n² est plus grand que M.
En effet, pour tout n ∈ N tel que n > √M, on a :
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Suite de limite - ∞
Définition :
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Soit (un)n∈N une suite de nombre réels. On dit que la suite (un)n∈N a pour limite -∞ si, pour tout nombre réel M, tous les un sont inférieurs à M à partir d’un certain rang.
On note alors :
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Remarque
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Suites de référence
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Remarque
- On en déduit que les suites
(-√n), (-n), (-n²), (-n3)....,(-np) avec p ∈ N* et (-qn) que q > 1 ont pour limite -∞.
Démonstration de la propriété
Pour montrer qu'une suite (un)n∈N tend vers +∞, il faut montrer que pour tout nombre réel M, un > M pour n suffisamment grand.
Il suffit donc de trouver un rang à partir duquel un > M.
- un = √n
On a donc √n > M dès que n > M² d'où pour tout n > M², √n > M et on a
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Démonstration
- Nous avons déjà vu dans l'exemple que
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- un = np pour p ≥ 1
Comme p ≥ 1, pour tout n ∈ N, on a np ≥ n, donc si n > M, on a np ≥ M.
d'où
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Soient q > 1 et un = qn
Posons q = 1 + a alors a > 0 et un = (1 + a)n
Admettons un instant que (1 + a)n > 1 + na > na (nous le montrerons tout de suite après)
d'où si
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donc
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Montrons (1 + a)n > 1 + na
Pour cela, posons ƒ(x) = (1 + x)n - nx où n∈ N*.
La fonction ƒ est définie et dérivable sur R et
ƒ'(x) = n(1 + x)n-1-n
= n [(1 + x)n-1 - 1]
= n [(1 + x)n-1 - 1]
Pour n ≥ 1, la fonction g : x → (1 + x)n-1 est croissante sur [0,+∞[ donc g(x) ≥ g(0)
C'est à dire (1 + x)n-1 ≥ 1 et ƒ'(x) = n [(1 + x)n-1-1] ≥ 0.
La fonction ƒ est donc croissante. On a donc : ƒ(a) ≥ ƒ(0)
C'est à dire (1 + a)n - na ≥ 1
Ou encore (1 + a)n ≥ 1 + na
Propriétés
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Suite convergente
Définition :
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Définition
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Autrement dit la suite (un)n∈N converge vers
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Unicité de la limite
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Démonstration
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Remarques
- Attention !
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Une suite divergente peut-être une suite qui tend vers une limite mais elle peut aussi être une suite qui n'a pas de limite.
Exemple
Soit (un)n∈N la suite définie par un = (-1)n
Alors pour tout n ∈ N,
- Si n est pair, un = (-1)n = 1
- Si n est impair, un = (-1)n = -1
La suite (un)neN ne peut donc être convergente.
En effet, si elle convergeait vers
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Or, ceci est impossible car aucun intervalle de longueur
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La suite (un)n∈N ne peut donc être convergente.
Suites de référence
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Lien entre limite de suite et limite de fonction
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Réciproque
- Attention !
La réciproque est fausse.
Soit f la fonction définie sur R par
ƒ(x) = sin (2πx)
Alors, pour tout n∈ N, on aƒ(x) = sin (2πx)
La suite (ƒ(n))n∈IN est donc constante et converge vers 0.Pourtant la fonction f n'a pas de limite en +∞
Opérations sur les limites
Soient (un)n∈IN et (Vn)n∈IN deux suites convergentes et soient
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Alors
- La suite
converge vers .png)
- la suite
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- si
, la suite
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- La suite
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- la suite
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- si
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Théorème des gendarmes
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Les deux suites (Un) et (Wn), comme deux gendarmes, encadrent la suite pour la « conduire » vers leur limite
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Exemple
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Limites et ralation d'ordre
Propriété
Soit (un) une suite convergente de nombres réels et soit
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Si, pour tout n∈ N, on a un ≤ m,
alors
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Remarque
On a aussi, si pour tout
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Propriété
Soit
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Si, pour tout
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alors
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