Intégration par parties

 

1/ Rappels

Notion d'une aire
Définition :
Soit le repère orthogonal  
L’unité d’aire est l’aire du rectangle OIKJ et se note u.a.

 

L’intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée  est en unités d’aire, l’aire de la partie du plan limitée par :

Si f est nulle sur [ a ; b ] alors :  = 0

L’intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée
est en unités d’aire, l’opposé de l’aire de la partie du plan limitée par :

L’intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée
est en unités d’aire, la différence entre :
les aires situées au dessus de (Ox) et les aires situées en dessous de (Ox).

Soit f fonction continue sur un intervalle I de.
Et soit a réel, appartenant à I.
La fonction F définie pour tout x de I par :
est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.

Soit f fonction continue sur un intervalle I deet soit F une primitive de f sur I.
Alors, quels que soient a et b appartenant à I :

Le nombre F (b) - F (a) est noté avec des crochets :

Propriétés pratiques : pour toute constante k :

L’intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales.

Pour toute constante réelle k :

Conséquence des deux propriétés :

l’intégrale de la différence est égale à la différence des intégrales.

Si pour tout x élément de [ a ;  b ] : f (x) > 0  alors :

Autrement dit : « l’intégrale d’une fonction positive est positive ».

Remarques :
1)  Cette propriété découle de la définition de l’intégrale d’une fonction positive rappelée plus haut.
2) la réciproque est fausse.
3) Attention :  à condition que a soit inférieur à b.
4) Toujours d’après la définition : « l’intégrale d’une fonction négative est négative ».

Conséquence n° 1:
soient f et g fonctions continues sur l’intervalle [ a ; b ].

Si pour tout x élément de [ a ;  b ] :  f (x) < g (x)
alors :

Démonstration
Pour tout x de [ a; b ] : g(x) - f (x) > 0

Donc
Or, d’après les propriétés de linéarité de l’intégrale : 
d'où :
et donc : 

S’il existe deux réels m et n tels que pour tout x de [ a ;  b ] : m < f (x) < M
alors :

Démonstration :
Si pour tout x de [ a ; b ] :  m < f (x) < M

alors, d’après la conséquence n°1 : 
Et donc :

De même que la dérivée du produit n’est pas égal au produit des dérivées,
nous avons vu dans un autre module que la primitive du produit
n’est pas égal au produit des primitives.

Par conséquent, l’intégrale du produit n’est pas égal au produit des intégrales.



Mais une méthode existe, permettant d’intégrer des produits de fonctions :
c’est la méthode d’intégration par parties.

Théorème : intégration par parties

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I,
et si leurs dérivées u’ et v’ sont continues sur I, alors,
quels que soient a et b éléments de I :

Démonstration :
Soit la fonction f définie sur I par : f (t) = u (t) x v (t)

f est dérivable sur I en tant que produit de fonctions dérivables sur I et pour tout t de I :
D’où : 
Les fonctions u’v et uv’ étant continues, on peut appliquer la propriété de linéarité de l’intégrale :

Or, une primitive de f ’ sur I est f donc :

D’où : 

Exemple d’utilisation de la formule : 

soit :

Dans un premier temps, il s’agit de distribuer les rôles de u’ et v.
u’ doit être choisie de telle sorte que l’on soit capable d’en trouver une primitive.

Ici, on connaît une primitive de chacun des facteurs donc ce n’est pas un critère suffisant.

v doit, en général, être choisie de telle sorte que sa dérivée conduise à la possibilité de calculer
Il faut donc s’arranger pour que v’ soit plus « simple » que v.

Il n’est donc pas judicieux de choisir  v (t) = e^t  auquel cas u' (t) = t    et  

Ce qui reporte la difficulté rencontrée avec I sur la nouvelle intégrale

Maintenant que nous savons quel choix faire, voyons la rédaction :



Autre utilité de la formule d’intégration par parties :

Outre le simple calcul d’intégrale, la formule d’intégration par parties permet de calculer les primitives de fonctions produit.

En effet, on est incapable de trouver directement la primitive surde f définie par :  f (x) = xe^x  mais, on sait que la primitive F de f s’annulant par exemple en 0 vaut 

Or, en reprenant le calcul précédent :

La primitive de F s’annulant en 0 est donc :