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Inéquations et tableaux de signes
Cours maths seconde
Inéquations et tableaux de signes : Signe d’une expression |
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Signe d'une expression
Déterminer le signe d'une expression E (x) c'est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles E (x) est strictement positif (E (x) > 0), celles où E (x) est strictement négatif (E (x) < 0) et celles où E (x) est nulle (E (x) = 0).
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Méthode pour déterminer le signe d'une expression
Pour déterminer le signe d’une expression E (x) :
1. On factorise E (x) (si nécessaire).
2. On étudie le signe de chacun des facteurs présents dans l’expression factorisée de E (x).
3. On construit un tableau de signes et on conclut.
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Consignes relatives aux tableaux de signes
- La 1ère ligne doit contenir les solutions de l’équation E (x) = 0 plus les valeurs interdites en les ordonnant de la plus petite à la plus grande.
- Lorsqu’une valeur est interdite, il faut l’indiquer par une double barre : ║.
- On étudie séparément chacun le signe de tous les facteurs.
- On utilise la règle des signes : « + par + fait + », « + par - fait - », « - par + fait - » et « - par -fait +».
Le signe de a.x + b dépend du signe du a :
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Remarque : si E (x) est une fraction ; alors, toutes les valeurs qui annulent le dénominateur sont des valeurs interdites.
Etude du signe de : E (x) = (x - 3)² - (3x +1)²
Première étape : on factorise. E (x) = (x - 3)² - (3x + 1)²
On reconnait dans ce cas, la troisième identité remarquable :
a² - b² = (a + b) x (a - b)
Donc :
E (x) = ((x - 3) + (3x + &)) x ((x - 3) - (3x + 1))
E (x) = (x - 3 + 3x + 1) x (x - 3 - 3x - 1)
E (x) = (4x - 2) x (-2x - 4)
Deuxième étape : on étudie le signe de chaque facteur.
On a : E (x) = (4x - 2) x (-2x - 4)
Les facteurs sont alors : 4x - 2 et 2x - 4.
-
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et comme 4 > 0, on a le tableau :
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-
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et comme -2 < 0, on a le tableau :
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Troisième étape : on construit un talbeau de signes.
Il est établi par les deux tableaux de signes établis précédemment.
On a :
- E (x) < 0 pour x < -2 et pour x > 0,5
- E (x) > 0 pour -2 < x < 0,5
- E (x) = 0 pour x = -2 et x = 0,5
Donc :
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Inéquation
Méthode : résoudre une inéquation A(x) ≥ B(x).
(ou A(x) > B(x) ou A(x) ≤ B(x) ou A(x) < B(x) ) :
- 1. On se ramène à une comparaison à zéro et on factorise.
- 2. On étudie séparément le signe de chaque facteur.
- 3. On fait un tableau de signes et on donne le résultat sous forme d’intervalle.
Exemple
Résoudre l’inéquation :
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Première étape : on se ramène à une comparaison à zéro et on factorise.
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Deuxième étape : On étudie séparément le signe de chaque facteur.
On a :
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. Ainsi in étudie les facteurs : -8 + 14 et 2x - 3.-
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et comme -8 < 0, on a :
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-
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et comme 2 > 0, on a :
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Troisième étape : On fait un tableau de signes et on donne le résultat sous forme d’intervalle.
On établit ce tableau de signes grâce au deux précédents.
Remarque : 7/4 > 1,5 et 1,5 est une valeur interdite car elle annule le dénominateur 2x - 3.
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La solution de l'inéquation est :
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