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Cours maths seconde

Variation de fonctions et extremums

Fonctions croissantes ; fonctions décroissantes.
Tableau de variations.
Maximum et minimum.

Notations

Dans ce module :

ƒ désigne une fonction définie sur D
(D désigne donc le domaine de définition de la fonction ƒ)

I est un intervalle inclus dans D

 

Fonction croissante

Graphiquement, ƒ est croissante sur l’intervalle I signifie que sur I, la courbe représentative Cƒ monte.

ƒ est croissante sur l’intervalle I signifie que pour tous nombres réels x1 et x2 :

Autrement dit :

« une fonction croissante conserve l’ordre ».

Illustration :

ƒ est croissante et on voit bien que : pour a inférieur à b, f(a) est inférieur à f(b).

Exemples

La fonction carrée (ƒ(x) = x²) est croissante sur [0 ; + ∞ [

Une fonction affine ƒ(x) = a x + b est croissante si a > 0

La fonction cube (ƒ(x) = x3)
est croissante sur ℜ

 

Fonction décroissante

Graphiquement, ƒ est décroissante sur l’intervalle I signifie que sur I la courbe représentative Cƒ descend.

ƒ est décroissante sur l’intervalle I signifie que pour tous nombres réels x1 et x2 :

Autrement dit :

« une fonction décroissante change l’ordre ».

Illustration :

ƒ est décroissante et on voit bien que : pour a inférieur à b, ƒ(a) est supérieur à ƒ(b).

Exemples

La fonction carrée (ƒ(x) = x²) est décroissante sur ]-∞ ; 0]

Une fonction affine ƒ(x) = a x + b est décroissante si a > 0

La fonction inverse est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ] 0 ; + ∞[

 

Sens de variation

Le sens de variation (croissant ou décroissant) d’une fonction est résumé dans son tableau de variations.

Exemple :

On connaît une fonction ƒ définie sur [0 ; +∞[ par sa représentation graphique ci-dessous :

 

Maximum

Le maximum M de ƒ est la plus grande des valeurs ƒ(x) pour x appartenant à D.

Sur le graphique, c’est l’ordonnée du point le plus haut situé sur la courbe.

Le maximum de ƒ (s’il existe) est un nombre de la forme ƒ(a) avec a ∈ I tel que :
ƒ(x) ≤ ƒ(a) pour tout x de I.

Autrement dit :
« le maximum d’une fonction est la plus grande valeur atteinte par cette fonction ».

Exemples

On connaît une fonction ƒ par sa représentation graphique sur l’intervalle [-2 ; 5].

Le maximum de ƒ est 6, il est atteint pour x = 4.

Soit ƒ la fonction définie sur I = [0 ; + ∞[ par : ƒ(x) = 3 - √x

ƒ(0) = 3 et pour tout x, ƒ(x) ≤ 3

Donc ƒ admet un maximum qui est 3, atteint en 0

 

Minimum

Le minimum m de ƒ est la plus petite des valeurs ƒ(x) pour x appartenant à D.

Sur le graphique, c’est l’ordonnée du point le plus bas situé sur la courbe.

Le minimum de ƒ (s’il existe) est un nombre de la forme ƒ(a) avec a ∈ I tel que :

ƒ(x) ≥ ƒ(a) pour tout x de I.

Autrement dit :
« le minimum d’une fonction est la plus petite valeur atteinte par cette fonction ».

Exemples

On connaît une fonction ƒ par sa représentation graphique sur l’intervalle [-2 ; 5].

Le minimum de ƒ est -2, il est atteint pour x = 1.

Soit f la fonction définie sur ℜ par : ƒ(x) = x² + 5

Pour tout x, x² ≥ 0
donc x² + 5 ≥ 0 + 5
donc ƒ(x) ≥ 5

Pour tout x, ƒ(0) = 5 et ƒ(x) ≥ ƒ(0)

donc ƒ atteint en 0 un minimum égal à 5.

 

Extremum

Un extremum est un maximum ou un minimum.

Exemple :

On connaît le tableau de variations d’une certaine fonction ƒ :

Le maximum de ƒ est 1

Le minimum de ƒ est -8