Cours maths 1ère S

Variable aléatoire

Variable aléatoire

 

Introduction

  Dans la plupart des phénomènes aléatoires, le résultat d’une épreuve peut se traduire par une grandeur mathématique, très souvent représentée par un nombre entier ou un nombre réel.
  La notion mathématique qui représente efficacement ce genre de situation concrète est celle de variable aléatoire.
  Le temps de désintégration d’un atome radioactif, le pourcentage de réponses « oui » à une question posée dans un sondage, le nombre d’enfants d’un couple sont des exemples de variables aléatoires.

Un peu d’histoire…

La notion de variable aléatoire est née en même temps que le calcul des probabilités sans toutefois être repérée comme telle. C’est au cours du XVIIIème siècle qu’ont été découvertes la plupart des propriétés d’une variable aléatoire.

Les origines de la notion d’espérance mathématique remontent au problème des parties de Pascal :

« Deux joueurs A et B jouent une partie en plusieurs coups ; à chaque coup, chaque joueur a la même probabilité de gagner. Le premier qui a gagné trois coups ramasse l’enjeu qui est de 64 pistoles, chaque joueur ayant misé 32 pistoles au début du jeu.

Soudain les joueurs aperçoivent la police et doivent interrompre le jeu avant la fin de la partie.

Comment faut-il partager l’enjeu ? »

Un peu d’histoire…

Supposons que le joueur A ait gagné deux coups et le joueur B un coup au moment où la police arrive.

Pour partager l’enjeu, on raisonnera ainsi : si le coup suivant était joué, A pourrait le gagner et empocherait donc les 64 pistoles.

Il pourrait aussi le perdre : A et B auraient alors gagné deux coups chacun et il serait légitime de partager l’enjeu de manière égale.

A peut donc espérer avec des chances égales gagner 64 pistoles ou 32. Donc 32 pistoles lui sont assurées et ce sont les 32 pistoles restantes qui sont le véritable enjeu du coup suivant. Il est légitime de les partager également entre A et B.

Donc finalement A va toucher 32 + 16 = 48 pistoles et B 16 pistoles.

 

Variable aléatoire

Soit un univers et soit P une loi de probabilité sur . Une variable aléatoire X sur est une fonction de dans .

Une variable aléatoire X associe donc à chaque issue de un nombre réel.

Soit l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.

L’évènement «X prend la valeur » est noté « ».

 

Une urne contient 15 boules indiscernables :

7 boules vertes, 5 boules jaunes et 3 boules bleues.

On tire au hasard une boule dans l’urne.

On note les boules vertes, les boules jaunes, et les bleues.

L'univers est l'ensemble:

Exemple

On définit une variable aléatoire X de la façon suivante :

- Si la boule tirée est verte on gagne 3 points.

- Si la boule tirée est jaune on gagne 1 point.

- Si la boule tirée est bleue on perd 2 points.

La variable aléatoire est donc définie par :

 

Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Soit un univers et soit P une loi de probabilité sur . Soit X une variable aléatoire sur et soient { } les valeurs prises par X.

Pour tout la probabilité est la probabilité de l’ensemble des issues ayant pour image par X.

La loi de probabilité de X est la fonction définie sur { }, qui à chaque fait correspondre le nombre

La Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X c’est :

- préciser l’ensemble

- calculer pour chaque la probabilité

La loi de probabilité d’une variable aléatoire est souvent présentée dans un tableau.

 \

Reprenons l’exemple précédent de l’urne contenant

15 boules indiscernables (7 vertes, 5 jaunes et 3 bleues).

On modélise cette expérience par une loi de probabilité equirépartie car toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées.

Comme l’urne contient 15 boules, la probabilité de chaque boule d’être tirée vaut

Exemple

On a:

avec : pour

pour

pour

Exemple

De même
où B est l’évènement « tirer une boule jaune »,

d'où

Enfin,

où C est l’évènement « tirer une boule verte », d’où

Exemple

On a donc le tableau:

 

Espérance mathématique

Soit X une variable aléatoire, de loi de probabilité pour .

L’espérance mathématique de X est le nombre réel E(X) noté aussi , défini par:

 

Variance et écart type

La variance de X est le nombre réel V(X)défini par



L’écart type de X est le nombre réel défini par:

 

L’expression « espérance mathématique » vient du langage des jeux.
Le jeu est favorable au joueur si son espérance est un nombre positif et défavorable si son espérance est un nombre négatif.
Lorsque l’espérance est nulle, on dit que le jeu est équitable.

 

Reprenons l’exemple précédent de l’urne.
Nous avons trouvé pour la loi de probabilité de la variable aléatoire :

Calculons l’espérance mathématique de X :

 

Comme l’espérance mathématique est un nombre positif, ce jeu de hasard est favorable au joueur.

La variance de X vaut:

 

L’écart type de X vaut:

Propriété

La variance de X vaut:

Démonstration

On a, par définition de la variance

En développant, on obtient :

Démonstration

Démonstration