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Cours maths 1ère S

Translations et homothéties

Translations et homothéties

 

Translations

Soit un vecteur du plan ou de l’espace.
La translation du vecteur , notée , est l’application qui à tout point M du plan ou de l’espace associe le point M’ tel que

Remarques

- La translation de vecteur nul est l’application identique, c’est-à-dire l’application qu’à tout point M associe le point M lui-même.

Autrement dit, si , tout point M est invariant par la translation :

- Si , la translation de vecteur n’a aucun vecteur invariant.

 

Notion de transformation

Quelques points importants à retenir :

La transformation qui à chaque point M du plan ou de l’espace associe un unique point M’ du plan ou de l’espace est une application du plan dans lui même ou de l’espace dans lui même.

M’ est l’image de M par

Réciproquement, tout point M’ du plan ou de l’espace est l’image d’un unique point M.
Une telle application du plan dans lui-même ou de l’espace dans lui-même assurant cette correspondance « un à un » est appelée une transformation.

 

Notion de transformation réciproque

La transformation réciproque d’une transformation

est la transformation qui au point associe le point M.

La transformation réciproque de la translation de vecteur est la translation de vecteur .

 

Propriété fondamentale de la translation

Propriété

Si A’ et B’ sont les images respectives des points A et B par une translation, alors

Démonstration

Soient A et B deux points du plan ou de l’espace et soient A’ et B’ leurs images respectives par la translation de vecteur :

et

Alors on a

et

d’où

On en déduit que AA’B’B est un Parallélogramme d’où

On aurait pu écrire en utilisant la relation de Chasles :

 

Translation et longueurs, aires et volumes

Propriété

Une translation du plan ou de l’espace conserve les longueurs ou les aires.
Une translation de l’espace conserve les volumes.

On dit qu’une translation est une isométrie.
Elle transforme un triangle en un triangle isométrique et plus généralement une figure isométrique

 

Homothétie

Définition

Soit un point quelconque du plan ou de l’espace et soit k un nombre réel non nul .

On appelle homothétie de centre et de rapport k et on note la transformation qui à pour tout point M du plan ou de l’espace associe le point M’.
tel que

Exemple

Remarques

- Si , alors, pour tout point M, on a donc M’=M

Tout point du plan ou de l’espace est invariant et l’homothétie est l’application identique.

- Si , le centre de l’homothétie est le seul point invariant.
- Si , l’homothétie est la symétrie de centre

 

Une première propriété des homothéties

Propriété

→ un point et son image par une homothétie sont alignés avec le centre de l’homothétie.

→ si sont trois points alignés, distincts deux à deux, il existe une homothétie, et une seule, de centre et qui transforme en

Démonstration

→Soit un point et soit son image par l’homothétie de centre et de rapport

Alors on a

donc les vecteurs et sont colinéaires et ont la même origine donc les trois points , et sont alignés.

→Soit , et trois points alignés et distincts deux à deux .

Alors les vecteurs et sont colinéaires et il existe un unique nombre réel tel que

→Soit l’homothétie de centre et de rapport . L’homothétie transforme en .
Ce qui prouve l’existence.

Supposons qu’une homothétie de centre et de rapport transforme en .

Alors on a .

et comme

on en déduit que

L’homothétie est donc l’homothétie , ce qui prouve l’unicité.

 

Propriété fondamentale

Propriété

Si A’ et B’ sont les images respectives de A et B par une homothétie de rapport , alors on a

Démonstration

On a et

On en déduit, en utilisant la relation de Chasles,

 

Homothétie et longueurs, aires et volumes

Propriété

Une homothétie de rapport multiplie les longueurs par , l’aire par et le volume par

Démonstration

Si et sont les images respectives de et par une homothétie de rapport , alors on a , d’après la propriété fondamentale,

d’où

et les longueurs sont donc multipliées par .

On admet que l’on peut en déduire que les aires sont multipliées par et les volumes par

 

Translation, homothétie et alignement

Propriété

Une translation et une homothétie conservent l’alignement.

Autrement dit, les images par une translation ou une homothétie de points alignés sont des points alignés.

Démonstration

Soient A, B et C trois points alignés et deux à deux distincts et soient A', B' et C’ leurs images respectives par la transformation

Comme A, B et C sont alignés, il existe un nombre réel tel que

Démonstration

→Si est une translation, on a ,

et

On en déduit

c’est-à-dire

donc les vecteurs et sont colinéaires et les points A' , B' et C’ sont alignés .

→Si est une homothétie de rapport , alors on a

et

d’où

c’est-à-dire

donc les vecteurs et sont colinéaires et les points A' , B' et C’ sont alignés .

 

Translation, homothétie et barycentre

Propriété

Une translation et une homothétie conservent le barycentre.

Autrement dit, si G est le barycentre de (A , a) et (B , b) , alors l’image G’ de G par une translation ou une homothétie est le barycentre de (A' ,a) et (B' , b) où A' et B' sont les images respectives de A et de B.

Démonstration

Soient (A , a) et (B , b) deux points pondérés avec et soit G le barycentre de (A , a) et (B , b)

Soient A' , B' et G’ les images respectives de A , B et G par la transformation

Comme G est barycentre de (A , a) et (B , b) , on a

→Si est une translation, alors

et

donc

→Si est une homothétie de rapport , alors

et

d’où

On a donc, dans les deux cas,

avec

On en déduit que G’ est le barycentre de (A' ,a) et de (B' , b).

Remarque

• En particulier une translation ou une homothétie conserve le milieu: Si est le milieu de [AB] , son image est le milieu de [AB].

• Cette propriété de conservation du barycentre s’étend au barycentre de trois points ou plus.

 

Translations, homothéties et angles

Propriété

Une translation et une homothétie conservent les angles géométriques et, dans le plan orienté, elles conservent les angles orientés.
Autrement dit, si A, B et C sont trois points deux à deux distincts et si A’, B’ et C’ sont leurs images respectives par une translation ou une homothétie, alors on a

et

Démonstration

Soient A , B et C trois points deux à deux distincts et soient A' , B' et C’ leurs images respectives par la transformation .

→Si est une translation, alors

et

donc

et

→Si est une homothétie de rapport , alors

et

d’où

Or ( car )

d’après la propriété des angles orientés,

d’où

et

 

Image d’une droite ou d’un segment

Propriété

Soient A et B deux points distincts et soient A' et B' leurs images respectives par la translation ou une homothétie.

♦ L’image de la droite (A B) est la droite (A’ B’) , elle est parallèle à la droite (A B).

♦ L’image du segment [A B] est le segment [A’ B’].

Démonstration

La droite (AB) est l’ensemble des points M tels que

lorsque décrit ℝ

Alors si A' , B' et C' sont les images respectives de A , B et C par la transformation ( où est une translation ou une homothétie ), on a

En effet,

Si est une translation, alors

et

Si est une homothétie de rapport , alors

et

Lorsque M décrit la droite (A B), décrit ℝ et le point M’ décrit la droite ( A’ B’) .

La droite (A B) a donc pour image la droite (A’ B’) .

De plus, on a

si est une translation

et

si est une homothétie.

Dans les deux cas, les vecteurs et sont colinéaires, donc les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.

Le segment [AB] est l’ensemble des points M tels que

avec

On a

Donc lorsque M décrit le segment [A B] , décrit [ 0, 1] et M’ décrit le segment [ A’ B’] .

Le segment [A B] a donc pour image le segment [ A’ B’] .

 

Image d’un cercle par une translation

 

 

 

Image d’un cercle par une homothétie

Propriété

Une homothétie de rapport transforme le cercle C de centre O et de rayon R ( R>0 ) en un cercle C’ de centre O’ image de O et de rayon R.

Dans l’espace, le cercle C’ est contenu dans le plan passant par O’ et parallèle au plan contenant C.

 

Image d’un cercle par une translation