Cours maths seconde

Système linéaire

Nombre de solutions ; résolution et applications aux problèmes.

Définitions

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y est de la forme :

(a, a’, b, b’, c et c’ désignent des nombres réels)

Une solution du système (S) est un couple vérifiant à la fois les deux équations de (S).

Résoudre le système (S) c’est trouver toutes les solutions.

Résolution algébrique d’un système

On dispose de deux méthodes pour résoudre algébriquement un système linéaire à deux inconnues : la méthode par substitution et la méthode par combinaison.

Ces deux méthodes ont étés étudiées en troisième, on en rappelle le principe ci-dessous. On peut avoir une préférence mais il est cependant intéressant de connaître les deux méthodes, c’est pourquoi certains exercices sont corrigés avec une méthode, et d’autres exercices, avec l’autre méthode.

⇒ Dans la méthode par substitution, on exprime une des inconnues en fonction de l'autre en se servant de l'une des équations et on remplace cette inconnue par l'expression trouvée dans l'autre équation : le but est d'obtenir une équation dans laquelle ne figure plus qu'une seule inconnue .

⇒ Dans la méthode par combinaison, on multiplie les deux membres de chaque équation par des nombres choisis de telle sorte que les coefficients de l'une des inconnues soient opposés : il ne reste plus qu'à ajouter les équations membre à membre pour obtenir une équation dans laquelle ne figure plus qu'une seule inconnue .

  

Résolution graphique d’un système

Pour résoudre graphiquement le système (S), il faut tracer la droite D d’équation et la droite D’ d’équation puis, il y a 3 cas :

1er cas : D et D’ sont sécantes en un point M(x0 ; y0).
Le système admet une unique solution qui est (x0 ; y0).

2ème cas : Les droites D et D’ sont parallèles.
Le système (S) n’a aucune solution.

3ème cas : Les droites D et D’ sont confondues.
Le système (S) a une infinité de solutions : tous les couples de coordonnées des points de la droite D.

Nombre de solutions d’un système

On peut déterminer, sans avoir besoin de le résoudre, le nombre de solutions du système (S) :

Comme précédemment, il y a 3 cas :

1er cas :
Le système admet une unique solution.

2ème cas :
Le système (S) n’a aucune solution.

3ème cas :
Le système (S) a une infinité de solutions.

Application à la résolution de problèmes

Pour la réalisation d’un problème par mise en équation, la démarche est la suivante :
•&nbsp On choisit les inconnues en précisant à quels ensembles elles appartiennent.
•&nbsp On traduit les indications de l’énoncé afin d’obtenir des équations vérifiées par les inconnues.
•&nbsp On résout le système obtenu.
•&nbsp On vérifie que les valeurs trouvées répondent aux conditions posées au début.

Exemples de systèmes non linéaires

Dans certains cas, on peut résoudre un système non linéaire en le transformant en un autre système, linéaire celui-là.

Une démarche possible est la suivante :
•&nbsp On choisit de nouvelles inconnues X et Y, en fonction des anciennes x et y afin d’obtenir un système linéaire en X et Y.
•&nbsp On résout le système en X et Y.
•&nbsp Si ce système a des couples solutions (X ; Y), on utilise ces solutions pour chercher les éventuelles solutions du système en x et y.

Exemple

Résoudre le système :

(S) est un système non linéaire (présence de x² et y²)

On pose X = x² et Y = y²...

Le système (S) devient :

(S') est un système linéaire en X et Y ; on le résout par la méthode de combinaison.

On trouve : X = 0,95 et Y = 1,7.
On revient alors aux inconnues x et y.

(S) possède donc quatre couples solutions :